乒乓球赛中的数学模型
                                                           
乒乓球赛问题
摘要
1．问 题 重 述
2. 模型的合理假设
乒乓球双打几局几胜3. 模型建立与求解
4．模型的优缺点分析
5．模型的推广
1、问 题 重 述
五局三胜制是乒乓球团体赛常用赛制，一方赢完三场比赛即终止赛事。
1、如何赢得一局比赛？
在一局比赛中，先得11分的一方为胜方；10平后，先多得两分的一方为胜方。
2、攻击次序和方位
在获得两分后，接发球方变为发球方，依此类推，直到该局比赛结束，或直至双方比分为10平，或采用轮换发球法时，发球和接发球次序不变，但每人只轮发1分球。在双打中，每次换发球时，前面的接发球员应成为发球员，前面的发球员的同伴应成为接发球员。在一局比赛中首先发球的一方，在该场比赛的下一局中应首先接发球，在双打比赛的决胜局中，当一方先得5分以后，接发球的一方必须交换接发球次序。一局中，在某一方位比赛的一方，在该场比赛的下一局应换到另一方位。在决胜局中，一方先得5分时，双方应交换方位。
五场三胜制
一、二、四、五场为单打，第三场为双打。
（1）一个队由三名运动员组成，每名运动员出场2次。
（2）比赛顺序是： 主队VS客队  第一场 A —— X  第二场 B —— Y  第三场 C+A或B —— Z+X或Y  第四场 A或B —— Z  第五场 C —— X或Y
（3）在打完前两场比赛后再确定双打运动员的出场名单。
A或B及X或Y如果参加了双打比赛，就不能参加后面的单打比赛；不参加双打比赛的运动员才可以参加后面的单打比赛。
 
此题是以“五局三胜制”进行乒乓球赛事，虽然两队实力相当，但不同的出场顺序可能导致不同的结果，所以合理的安排是取得成功的关键，题中所给矩阵也只是打满五局A队获胜的预测结果。根据矩阵来说明两队实力的强弱，不同的出场方案会有哪些结果，若站在某队的角度，应采取那种出场方案，对“五局三胜制”进行的乒乓球赛事进行评价。
二、模型的合理假设
由题中所给矩阵，
当A队以次序出场、B队以次序出场时，设这时A队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数，并且假设各局是否获胜是相互独立的（实际上也许并不是这样，但是题目中给我们的信息太少，我们只能这样假设）。这样，5局比赛就是一个独立重复试验序列。
比赛实际上是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜，因此需要对五场比赛各队的输赢情况进行列举。
当A选的时候，他能得到2，1，4。为赢1盘，输2盘，赢得总局数为7，最不利情况为1局。
    当A选的时候，他能得到0，3，4。为赢2盘，输1盘，赢得总局数为7，最不利情况为0局。
    当A选的时候，他能得到5，3，1。为赢2盘，输1盘，赢得总局数为9，最不利情况为1局。
    综上所述，可得，不论B选择什么方案，比a和都不利。而对比和，的战况和满意程度都比的高。故，A队最稳妥的方案是。
同理，B队最稳妥的方案是。
三、模型建立与求解
根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？
设是A队在5局比赛中获胜的局数，显然，服从二项分布，概率分布为
， 。
R矩阵中的9个元素，是在9种不同的出场次序下A队每局获胜的概率。假设这9种不同的出场次序出现的概率相同，都是种不同的出场次序出现的概率相同，都是，那么，就可以求出A队在每一局比赛中获胜的局数
A=（2+1+4+0+3+4+5+3+1）/9=2.777778
2.777778大于2.5从每五局比赛来说，A队的实力比B队略微强一些。由五局的实力可得每局
获胜的概率分别为2/5，1/5，4/5，0/5，3/5，4/5，5/5，3/5，1/5，我们可以得到这样一个矩阵
。
比赛是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。
下面我们来计算在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率：
    A队最后获胜，可以分成下列几种情况：
（1）A队前三局获胜。这种情况的概率为  ；
（2）在前三局中A队胜二局，B队胜一局，第五局A队又胜一局。这种情况的概率为
；
（3）在前四局中A队胜二局，最后A队又胜一局。这种情况的概率为
；
    把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率
。
将 各数值代入上式，可以计算出A队最后获胜的一个矩阵
。
矩阵中元素表示：当A队以次序出场、B队以次序出场时，在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率（也就是B队最后失败的概率）。
如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？
从矩阵
可以看出：
“稳妥的方案”对于B队来说，需考虑最坏的情况，采用出场次序时，最坏的情况是A队出场次序，B队失败的概率为1，采用出场次序时，最坏的情况是A队出场次序，，B队失败的概率为0.68256，采用出场次序时，最坏的情况是A队出场次序，，B队失败的概率为0.94208，3个失败概率中，为最小，所以，B队最稳妥的方案是采用出场次序。
对于A队来说，采用出场次序时，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为；采用出场次序时，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为；采用出场次序，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为。3个获胜概率中，为最大，所以，A队最稳妥的方案是采用出场次序或。
若B队采用， A队采用，则B队获胜，若B队采用，A队采用，则A队获胜。
若A队采用，B队采用，则B队获胜，B队采用，则A队获胜，B队采用，则A队获胜。
若A队采用，B队采用，则A队获胜，B队采用，则A队获胜，B队采用，则B队获胜。
如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？
从A队角度来看，采用最稳妥的方案时获胜的概率最大
四、模型的优缺点分析
比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式优点也有缺点。
优点：
虽是在打满五局的情况下得到的，但是可以推测两队的实力情况，进而指导出场方案
缺点：
这只是在打满五局的情况下得到的，并不符合实际参赛规格，因此以上处理也仅供参考，但并不能完全凭借。
五、模型推广
针对其他赛事，如网球，排球，以及下棋等，我们也可以采取上述类似的方案，建立相应的模型，从而到最优解。

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