等额本息和等额本金还款原理解释及公式推导过程
等额本息和等额本⾦还款原理解释及公式推导过程
等额本息和等额本⾦还款的解释及公式推导过程
住房贷款的分期还款⽅式分为等额本息付款和等额本⾦⽅式付款两种⽅式，两种付款⽅式的⽉付款额各不相同，计算⽅式也不⼀样。⽹上分别有着两种还款⽅式的计算公式，然⽽，对于这两个公式的来源却很少有解释，或者解释是粗略的或错误的。本⼈经过⼀段时间的思考，运⽤数学理论推导出了这两个计算公式。本⽂将从原理上解释⼀下这两种还款⽅式的原理及计算公式的推导过程。
⽆论哪种还款⽅式，都有⼀个共同点，就是每⽉的还款额(也称⽉供）中包含两个部分：本⾦还款和利息还款。
⽉还款额＝当⽉本⾦还款＋当⽉利息其中本⾦还款是真正偿还贷款的，每⽉还款之后，贷款的剩余本⾦就相应减少：当⽉剩余本⾦＝上⽉剩余本⾦ — 当⽉本⾦还款直到最后⼀个⽉，全部本⾦偿还完毕。
利息还款是⽤来偿还剩余本⾦在本⽉所产⽣的利息，每⽉还款中必须将本⽉本⾦所产⽣的利息付清。
当⽉利息＝上⽉剩余本⾦ × ⽉利率
其中⽉利率=年利率÷12，由上⾯利息偿还公式中可见，⽉利息是与上⽉剩余本⾦成正⽐的，由于在贷款
初期，剩余本⾦较多，所以贷款初期每⽉的利息较多，⽉还款额中偿还利息的份额较重。随着还款次数的增多，剩余本⾦将逐渐减少，⽉还款的利息也相应减少，直到最后⼀个⽉，本⾦全部还清，利息付最后⼀次，下个⽉将既⽆本⾦⼜⽆利息，⾄此，全部贷款偿还完毕。
两种贷款的偿还原理就如上所述，下⾯推导⼀下两种还款⽅式的具体计算公式。1. 等额本⾦还款⽅式
等额本⾦还款⽅式⽐较简单顾名思义，这种⽅式下，每次还款的本⾦还款数是⼀样的。以下结合⼀事例帮助理解公式推导过程。⽐如贷款24万，年利率7.2%，则⽉利率为7.2%÷12=0.6%，分20年还完。
当⽉本⾦还款＝总贷款数÷还款次数＝240000÷(12×20) ＝1000
当⽉利息＝上⽉剩余本⾦×⽉利率＝总贷款数×[1-（还款⽉数－1）÷还款次数]×⽉利率
如第10个⽉利息＝240000×[1-（10-1）÷240]×0.6%＝1386
当⽉⽉还款额＝当⽉本⾦还款＋当⽉利息
＝总贷款数×(1÷还款次数＋(1－（还款⽉数－1）÷还款次数）×⽉利率) 如第10个⽉还款额＝1000+1386＝2386
总利息＝所有利息之和
等额本金和等额本息的区别容易理解，这组数是⼀个等差数列。经整理后可以得出：
总利息＝总贷款数×⽉利率×（还款次数+1）÷2
＝240000×0.6%×（240+1）÷2
＝173520
由于等额本⾦还款每个⽉的本⾦还款额是固定的，⽽每⽉的利息是递减的，因此，等额本⾦还款每个⽉的还款额是不⼀样的。开始还得多，⽽后逐⽉递减，每⽉总还款额也是等差数列。上例可由下图表⽰。
2．等额本息还款⽅式
等额本息还款⽅式的公式推导⽐较复杂，不过也不必担⼼，只要具备⾼中数列知识就可以推导出来了。
等额本⾦还款，顾名思义就是每个⽉的还款额是固定的。由于还款利息是逐⽉减少的，因此反过来说，每⽉还款中的本⾦还款额是逐⽉增加的。
⾸先，我们先进⾏⼀番设定：
设：总贷款额＝A
还款次数＝B
还款⽉利率＝C
⽉还款额＝X
当⽉本⾦还款＝Yn（n＝还款⽉数）
先说第⼀个⽉，当⽉本⾦为全部贷款额＝A，因此：
第⼀个⽉的利息＝A×C
第⼀个⽉的本⾦还款额
Y1＝X－第⼀个⽉的利息
＝X－A×C
第⼀个⽉剩余本⾦＝总贷款额―第⼀个⽉本⾦还款额
＝A－（X－A×C）
＝A×（1＋C）―X
再说第⼆个⽉，当⽉利息还款额＝上⽉剩余本⾦×⽉利率
第⼆个⽉的利息＝（A×（1＋C）－X）×C
第⼆个⽉的本⾦还款额Y2＝X－第⼆个⽉的利息
＝X―（A×（1＋C）―X）×C
第⼆个⽉剩余本⾦= 第⼀个⽉剩余本⾦―第⼆个⽉本⾦还款额
＝A×（1＋C）―X―（X－〔A×（1⼗C）―X）×C）
＝A×（1＋C）―X―X＋（A×（1＋C〕―X）×C
＝A×（1＋C）×（1＋C）―［X＋（1＋C）×X］
＝A×（1＋C）2―［X＋（1＋C）×X］
第三个⽉，第三个⽉的利息＝第⼆个⽉剩余本⾦×⽉利率
＝{A×（1⼗C）2⼀［X＋（1＋C）×X］}×C
第三个⽉的本⾦还款额Y3＝X―第三个⽉的利息
＝X―{A×（1⼗C）2―［X＋（1⼗C）×X］}×C
第三个⽉剩余本⾦＝第⼆个⽉剩余本⾦―第三个⽉的本⾦还款额
＝A×（1＋C）2⼀［X＋（1＋C）×X］
―（X－（A×（1＋C）2－［X＋（1＋C）×X］）×C）
＝A×（1＋C）2－［X＋（1＋C）×X］
－（X－（A×（1＋C）2×C＋[X＋（1＋C）×X］）×C）
＝A×（1＋C）2×（1＋C）
－（X⼗［X＋（1＋C）×X］×（1＋C））
=A×（1 + C）3－[X⼗（1＋C）×X＋（1⼗C）2×X]
上式可以分成两个部分:
第⼀部分：A×（1＋C）3
第⼆部分：［X＋（1＋C）×X＋（1＋C）2×X］
＝X×［1＋（1＋C）＋（1＋C）2］
通过对前三个⽉的剩余本⾦公式进⾏总结，我们可以看到其中的规律：
剩余本⾦中的第⼀部分＝总贷款额×（1＋⽉利率）的n次⽅，（n＝还款⽉数）剩余本⾦中的第⼆部分是⼀个等⽐数列，以（1＋⽉利率）为⽐例系数，⽉还款额为常数系数，项数为还款⽉数n。
推⼴到任意⽉份：
第n⽉的剩余本⾦=A×（1＋C）?n -X×Sn（Sn为（1＋C）的等⽐数列前n项和）
^n 表⽰n次⽅，全⽂皆是。
根据等⽐数列的前n项和公式：1＋Z＋Z2＋．．．＋Zn－1＝（1－Z?n）／（1－Z）得出:
X×Sn＝X×（1－（1＋C）?n）／（1－（1⼗C））
＝X×（（1＋C）?n－1）／C
所以，第n⽉的剩余本⾦=A×（1＋C）?n-X×（（1＋C）?n－1）／C
由于最后⼀个⽉本⾦将全部还完，所以当n等于还款次数时，剩余本⾦为零。
设n=B〔还款次数）
剩余本⾦＝A×（1＋C）?B－X×（（1⼗C）?B－1）／C＝0
从⽽得出⽉还款额X＝A×C×（1＋C）?B÷（（1＋C）?B－1）
＝总贷款额×⽉利率×（1＋⽉利率）?还款次数÷[（1＋⽉利率）?还款次数－1]
将X值带回到第n⽉的剩余本⾦公式中
第n⽉的剩余本⾦=A×（1⼗C）?n－［A×C×（1⼗C）?B／
（（1＋C）?B－1）]×（（1＋C）?n－1）／C
＝A×［（1＋C）?n－（1＋C）?B×（（1＋C）?n－1）／（（1＋C）?B－1）］
＝A×［（1＋C）?B－（1＋C）?n］／（（1＋C）?B－1）
第n⽉的利息＝第n－1⽉的剩余本⾦×⽉利率
＝A×C×［（1⼗C）?B－（1＋C）?（n－1）］／（（1＋C）?B－1）
第n⽉的还款数=X－第n⽉的利息
＝A×C×（1＋C）?B／（（1＋C）?B－1）－A×C×［（1＋C）?B－（1＋C）?（n －1）］／（（1＋C）?B⼀1）
＝A×C×（1＋C）?（n－1）／（（1＋C）?B⼀1）
总还款额＝X×B＝A×B×C×（1＋C）?B÷（（1＋C）?B－1）
总利息＝总还款额－总贷款额
＝X×B－A
＝A×［（B×C－1）×（1⼗C）?B⼗1］／（（1⼗C）?B－1）
等额本息款，每个⽉的还款额是固定的。由于还款初期利息较⼤，因此初期的本⾦还款额很⼩。相对于等额本⾦⽅式，还款的总利息要多。
上述事例还款如下表：

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