2023年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）
（科目代码：302）
（考试时间：上午8:30-11:30）
考生注意事项
1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3.填（书）写部分必须使用黑签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B 铅笔填涂。
4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
2023年全国硕士研究生入学统一考试
数学(二)试题
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）函数1
ln(e )1
y x x =+-的渐近线为（ ） （A ）e y x =+. （B ）1e y x =+. （C ）y x =.
（D ）1e
y x =-.
（2
）0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）
（A
）),0
()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+->⎪⎩
（B
）)1,0
()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨+->⎪⎩
（C
）),0
()(1)sin cos ,0
x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨++>⎪⎩
（D
）)1,0
()(1)sin cos ,0
x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩
（3）设数列{}n x ，{}n y 满足1112
x y ==，1sin n n x x +=，2
1n n y y +=，当n →∞时（ ） （A ）n x 是n y 的高阶无穷小 （B ）n y 是n x 的高阶无穷小 （C ）n x 是n y 的等价无穷小 （D ）n x 是n y 的同阶但非等价无穷小
（4）微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞+∞有界，则,a b 的取值范围为（ ） （A ）0,0a b <> （B ）0,0a b >>
（C ）0,0a b => （D ）0,0a b =<
（5）由确定，则（ ）
（A ）()f x 连续，()0f '不存在
（B ）()0f '存在，()f x '在0x =处不连续 （C ）()f x '连续，()0f ''不存在 （D ）()0f ''存在，()f x ''在0x =处连续 （6）若函数
()
1
2
1()ln f dx x x +∞
+=⎰
αα在若0=αα处取得最大值，则0α是( )
（A ）1
ln ln 2
-
（B ）lnln2- （C ）
1ln 2
（D ）ln2
（7）设函数2()()x f x x a e =+.若()f x 无极值点，但有拐点，则a 的取值范围为( )
（A ）[0,1) （B ）[1,)+∞ （C ）[1,2) （D ）[2,)+∞
（8）已知A ，B 都为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*
M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*
⎛⎫
⎪
⎝⎭
A E O
B 为( )
（A ）*
***⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭A B B A O
B A
（B ）*
***⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭A B A B O
B A （
C ）*
***⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭
B A B A O
A B
（D ）*
***⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭
B A A B O
A B
（9）设二次型222
123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--，则该二次型的规范形为
（ ）
（A ）22
12y y + （B ）22
12y y - （C ）222
1234y y y +-
（D ）222
123y y y +-
（10）设121221,31αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
、122150,91ββγ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、既可由12αα、线性表示，也可由
12ββ、线性表示，则γ为（ ） （A ）33,4R k k ⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
∈⎪
（B ）35,10R k k ⎛⎫ ⎪
⎪⎪⎝⎭∈
（C ）-11,2R k k ⎛⎫ ⎪
⎪⎪⎝⎭∈
（D ）15,8R k k ⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭
∈⎪
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分． （11）设
2
2()ln(1),()cos x f x ax bx x g x e x =+++=-，且()f x 与()g x 为等价
无穷小，则ab = . （12
）设()y x =
⎰
，则此曲线的弧长为 .
（13）已知(,),2z
z z x y e xz x y =+=-，求22
z x
∂=∂ .
（14）23532x y y =+确定()y y x =，则()y y x =在1x =处的法线斜率为 . （15） 函数)(x f 满足⎰==-+2
00)(,)()2(dx x f x x f x f ，则⎰=3
1
)(dx x f .
（16）方程组13123
123121
202
ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，已知0111412a a a =，则 11120a a a b = .
三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本题目满分10分） 设曲线)(:x y y L =)(e x >经过点)0,(2
e ，L 上任一点),(y x P 到y 轴距离等于该点处的切线在y 轴上的截距. （1）求)(x y ;
（2）在L 上求一点使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小并求此最小面积.
（18）（本题满分12分） 求函数2
2023考研时间cos (,)e
2
y
x f x y x =+的极值.
（19）（本题满分12分）
已知平面区域{(,)|01}D x y y x =≤≤
≥
（1）求平面区域D 的面积; （2）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积.
（20） (本题满分12分)
设平面有界区域D
位于第一象限，曲线22221,2,,x y xy x y xy y +-=+-==0y =
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