2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。
A ．
()
0,1f
x ∂∂不存在，
()
0,1f y ∂∂存在
B ．()0,1f
x ∂∂存在，
()
0,1f y ∂∂不存在
C ．()0,1f
x ∂∂，()
0,1f y ∂∂均存在
D ．()0,1f
x ∂∂，()
0,1f y
∂∂均不存在
【参考答案】A
【参考解析】f （0，1）＝0，由偏导数的定义
()()()()0000,1ln 1sin1,10,1lim lim sin1lim x x x x x f x f f
x x x
x →→→+-∂===∂，
因为0
lim 1x x x
+
→=，0
lim 1x x x
-
→=-，所以
()
0,1f
x ∂∂不存在， ()()()1110,10,0,1ln 1lim lim lim 1111y y y f y f f y y y y y y →→→-∂-====∂---，所以
()
0,1f y
∂∂存在.
2．函数(
)()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩
的原函数为（ ）。
A ．(
))
()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪+->⎩
B ．(
))
()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪+->⎩
C ．(
))
()ln ,01sin cos ,0
x x F x x x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪++>⎩
D ．(
))
()ln 1,01sin cos ,0
x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪++>⎩
【参考答案】D
【参考解析】当x ≤0时，
(
)(1d ln f x x x C ==+⎰
当x ＞0时，
()()()()()2
d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x x
x x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰
原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处
(110
lim ln x x C C -
→++=，()220
lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故
(
))
()ln 1,0
d 1sin cos ,0
x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪
=⎨⎪+++>⎩⎰
，
综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为(
))
()ln 1,0
1sin cos ,0
x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪++>⎩.
3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。 A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜0 【参考答案】C
【参考解析】微分方程y ′′＋ay ′＋by ＝0的特征方程为λ2＋a λ＋b ＝0，
当Δ＝a 2－4b ＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零， 若C 1，C 2都不为零，则微分方程的解1212x x y C e C e λλ--=+在（－∞，＋∞）无界； 当Δ＝a 2－4b ＝0时，特
征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2， 若C 2≠0，则微分方程的解2
2
12a a x x y C e
C e =+在（－∞，＋∞）无界；
当Δ＝a 2
－4b ＜0
时，特征方程的根为1,222
a i λ=-±
，
则通解为2
12cos
sin 22a x y e
C x C x -⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
， 此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a ＝0，再由Δ＝a 2－4b ＜0，知b ＞0.
2023考研时间4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数1
n
n a
∞
=∑与
1
n
n b
∞
=∑均收敛，则“级数
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛”是“
1
n
n b
∞
=∑绝对收敛”的（ ）。
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【参考答案】A
【参考解析】由条件知
()1
n
n n b
a ∞
=-∑为收敛的正项级数，进而绝对收敛；
设
1n
n a
∞
=∑绝对收敛，则由|b n |＝|b n －a n ＋a n |≤| b n －a n |＋| a n |与比较判别法，得
1n
n b
∞
=∑绝对收敛；
设1
n
n b
∞
=∑绝对收敛，则由|a n |＝|a n －b n ＋b n |≤| b n －a n |＋| b n |与比较判别法，得
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛.
5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *
为矩阵M 的伴随矩阵，则*
0A E B ⎛⎫
⎪⎝⎭
＝（ ）。
A ．****0
A B B A B A ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．****0
B A A B A B ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．****0
B A B A A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．****0
A B A B B A ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭
【参考答案】B
【参考解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入（B ）计算知
*
***
*******,A E B A A B B AA AA B A B B A E A B A B O B O
A B O
A B
B O A B E B A E O
A B E O
A B E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--+-+⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫
== ⎪⎝⎭
故（B ）正确.
6．二次型f （x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（ ）。 A ．y 12＋y 22 B ．y 12－y 22
C ．y 12＋y 22－4y 32
D ．y 12＋y 22－y 32 【参考答案】B
【参考解析】由已知f （x 1，x 2，x 3）＝2x 12－3x 22－3x 32＋2x 1x 2＋2x 1x 3＋8x 2x 3，
则其对应的矩阵211134143A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
由
()()2
11
1
347301
4
3
E A λλλλλλλ----=-+-=+-=--+，得A 的特征值为3，－7，0
故选（B ）.
7．已知向量121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ααββ，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由与β1，β2
线性表示，则γ＝（ ）。
A ．33,4k k R ⎛⎫
⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．35,10k k R ⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．11,2k k R -⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．15,8k k R ⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
【参考答案】D
【参考解析】设r ＝x 1α1＋x 2α2＝y 1β1＋y 2β2则x 1α1＋x 2α2－y 1β1－y 2β2＝0
又()121212211003,,,2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
ααββ
故（x 1，x 2，y 1，y 2）T ＝c （－3，1，－1，1）T ，c ∈R
所以r ＝－c β1＋c β2＝c （－1，－5，－8）T ＝－c （1，5，8）T ＝k （1，5，8）T ，k ∈R
8．设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则E （|X －EX|）＝（ ）。 A ．1/e B ．1/2 C ．2/e D ．1
【参考答案】C
【参考解析】法1：由题可知EX ＝1，所以1,0
1,1,2,...
X X EX X X =⎧-=⎨-=⎩，
故
{}(){}
(){}(){}()()1
010111010112101k k E X EX P X k P X k k P X k P X e E X e e e
∞
=∞
=-=⋅=+-==+-=--==+---=∑∑ 选（C ）
法2：随机变量X 服从参数为1泊松分布，即()()1
10,1,2,...!
P X k e k k -==
=期望E （X ）＝1， ()
()
()()()()()()11111111111
1222221111
1111
<1...
0!1!2!!
11111!!!1!!
1112k k k k k E X E X E X e e e k e k k e k e e e e e e e k k k k k e e e e e e ----∞∞∞∞∞
--------=====-----=-=⋅+⋅+⋅++-⋅+=+-⋅=+-=+--=+----=∑∑∑∑∑
选（C ）.
9．设X 1，X 2，...，X n 为来自总体N （μ1，σ2）的简单随机样本，Y 1，Y 2，...，Y n 为来自总体N （μ2，
2σ2
）的简单随机样本，且两样本相互独立，记11
11,,n n
i i i i X X Y Y n m ====∑∑，
()()
22
22
1
21111,11n n i i i i S X X S Y Y n m ===-=---∑∑，则（ ）。
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