2023年全国硕士研究生统一入学考试数学（二）试题解析
一、选择题：1-10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.【答案】：B
【解析】：1
ln()
11lim lim limln(11
x x x x e y x k e x x x
）11
lim()lim[ln()]lim [ln()1]
11
x x x b y kx x e x x e x x 11
lim ln[1]lim (1)(1)x x x x e x e x e
所以斜渐近线方程为：1y x e
2.【答案】：D 【解析】：当0x
时
1
()ln(f x dx x C 当0x 时
()(1)cos (1)sin sin f x dx x xdx x x xdx
2
(1)sin cos x x x C 原函数在(,) 内连续，则在0x
处
1122
lim ln(,lim(1)sin cos 1x x x C C x x x C C
所以121C C ，令2C C ，则11C C
，故
ln(1,0()(1)sin cos ,0
x C x f x dx x x x C x
结合选项，令0C ，则()f x
的一个原函数为ln(1,0
()()(1)sin cos ,0
x x f x dx F x x x x x
3.【答案】：B
【解析】：在(0,
2 中，2
sin x x 故12
sin n n n
x x x
112n n y y
11111
2()()2444n n
n n n n n n y y
y y x x x x
lim
0n
n n
y x
，故n y 是n x 的高阶无穷小4.【答案】：C
【解析】：微分方程"'0y ay by 的特征方程为20a b ，
当240a b 时，特征方程有2个不同的实数根12, ，则12, 至少有一个不等于零，若12,C C 都不为零，则微分方程的解1212x
x y C e
C e 在(,) 无界
当240a b ，特征方程有2个相等的实根，1,22
a
若20C ，则微分方程的解212
()a
x y C C x e 在(,) 无界
当2
40a b
时，特征方程的根为1,2
22
a i
则通解为：2
12(cos sin )
22
a
x y e C C 5.【答案】：C
【解析】1）当0t 时，3sin cos ,sin 3x t dy t t t
y t t dx
；当0t 时，,sin sin sin x t dy
t t t y t t dx
；
当0t 时，因为'
00()(0)sin (0)lim lim 03x t f x f t t
f x t
'00()(0)sin (0)lim lim 0
x t f x f t t
f x t
所以'(0)0
f 2）0
sin cos lim '()lim 0'(0)3x t t t t f x f
；'
00sin cos lim '()lim 0(0);3
x t t t t f x f
所以0
lim '()'(0)0x f x f ，所以'()f x 在0x 处连续
3）当0t 时，因为"
00'()'(0)
sin cos 2(0)lim lim 339x t f x f t t t f x
t
"00'()'(0)sin cos (0)lim lim 2
x t f x f t t t
f x t
所以"(0)f 不存在6.【答案】：A
【解析】当0 时，2
12
11111
()|(ln )(ln )(ln 2)f dx x x x
所以211ln(ln 2)1111'()(ln ln 2)0(ln 2)(ln 2)(ln 2)f ，即0
1
ln(ln 2)
7.【答案】
：C 【解析】方法一：已知 f x 没有极值点，等价于 '
0f
x 至多一个解， '220x f x x x a e 至
多一个解即是：2
20x x a 至多一个解，那么判别式：4401a a ，另外曲线 y f x 有
拐点，则等价于 ''
2420x f x x x a e 有解，即是：164802
a a ，则a 的取值
范围是：12a 8.【答案】：D
【解析】11
0000A E A E A E A E A B B B B B
,
另外：1
23
4000X X A E E X X B E
，解出1
111
21
340X X A A B X X B
，则：0A E B
****0B A A B A B
9.【答案】：B
【解析】：令：112
21333
y x x y x x y x ，
2
22
2
2
212312121274,,4333y f x x x y y y y y y
，可见规范形为22
12y y 10.【答案】
：D 【解析】根据题意，即是存在1234,,,k k k k ，使得
11223344k k k k ，等价于求解
12123434(,,,)0k k k k ，得到通解：12
343111k k k k k
，
代入34,k k k k ，得到：15,8k k R
二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11.【解析】：注意到
2
2
220
ln 1ln 11lim
lim
1cos 11cos x x x x ax bx x x x bx x a e x
e x
，首先得到：1a ，
另外根据等价无穷小替换， 222
2001ln 12lim lim 1311cos 2
x x x b x x x bx x e x
，得到：2b ，则2ab 12.【解析】
：根据2
30t x ，则弧长计算为：
s
，进行换元：
2sin t ，原积分为： 2
33
44cos 3
s d
13.【解析】：两边同时对想求导两次得式子
2
22220z
z z z z z z e e x x x x x x 将x=1，y=1，z=0带入，
223
=-2|z x 1,114.【解析】两边分别对x 求导，可得'
911y ，所以'
911y
，所以法线斜率为119
15.【解析】
3
2
3
2
31
1
2
1
2
21211
1
1
u+2u+21
=++2=++x =
2
f x dx f x dx f x dx f x dx f d f x dx f x dx f x dx f x dx dx 16.【解析】：由已知
(A)(A,b)34
r r ，
故
A,b 0
，即
1444011
11
01110A,b 1(1)12
2(1)1
101200
1202
a a a a a a a a b
a
a b
所以11
1
280
a a a b
三、解答题：17~22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】
：（1）曲线L 在点 x,y P 处的切线方程为'
y=y (X -x)Y ，令X=0，切线在y 轴上的截距为'Y y xy ，即'1
1y y x
，解得 ln y x x c x ，由经过点 2,0e ，所以c=2，
2ln y x x x 设曲线L 在点
x,x(2lnx) 处的切线与坐标所围面积最小，此时切线方程为
2ln =1-lnx (X -x)Y x x ，故切线与两坐标所围三角形面积为
2
2ln 1x s x x
令 3'2
0,s x x e ，由单调性知，最小值在32
2023考研时间x e
处取得，33
2s e e
18.【解析】'cos 1'cos (,)0
(((,)sin 0y
x y
y f x y e x x e x e k k f x y x ye y k y k 为奇数），为偶数），则''
''cos ''cos 2
(,)1(,)sin (,)(cos sin )xx y xy y yy
f x y f x y ye
f x y xe y y ，代入1
(,)e k 得2210,0A B AC B C e 故1(,)e k 不是极值点，代入(,)e k 得2
2
1
0,0A B AC B C e
且0A 故极小值为2(,)2e f e k ，其中k 为偶数.
19.【解析】（1
）由题设条件可知面积
21
1
1
S (1)
D x
211
1
2ln 1x t
）
（2
）
2
22221
111
111
1arctan 11(14
V dx dx dx x x x x x x
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