用好数学学具资源,促进深度学习—
郎宏坤，特级教师，江苏省兴化市教师发展中心。致力于小学数学游戏资源与课程的开发，相关研究成果获2021年江苏省基础教育教学成果二等奖。近年来，关注“‘具身认知’视域下小学数学游戏课程开发的实践研究”“指向深度学习的小学数学学具资源开发与运用研究”“开发学具资源提升区域小学生‘直观想象’水平的实践探索”等课题与项目研究。发表论文六十多篇，出版《穿过数学语言的
密林》等专著。
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本文系江苏省中小学教学研究第十四期立项课题“指向深度学习的小学数学学具资源开发与运用
研究”（编号：2021JY14-L140）暨2022年度江苏省基础教育前瞻性教学改革实验项目“开发学具资源提升区域小学生‘直观想象’水平的实践探索”（编号：2022JSQZ0316）的阶段性研究成果。
数学学具具备安全性、科学性、直观性、交互性和可操作性，合理利用学具资源，可以为学生提供做数学、玩数学、想数学的机会。以“图形的认识”教学为例，探讨如何引导学生借助具体可感，又体现学科内容和特质的数学学具，在亲身实践中进行观察、操作、探索和交流，丰富活动体验，助力数学知识的深度理解和系统建构，发展高阶思维，促进深度学习。
小学数学；数学学具；系统建构；高阶思维；深度学习
数学深度学习注重数学知识的深入理解、系统建构和迁移运用，强调学生高阶思维的发展。“图形的认识”是数学课程标准中“图形与几何”领域的基本内容，也是组织数学深度学习的核心内容之一。
2016—2020年江苏省学业质量监测省市县三级报告中，关于小学生数学学习方式的现状调查都揭示出：在影响小学数学教学方式和学习方式的诸多因素中，排在第一位的是“缺乏合适的操作材料”。数学学具资源不足，有限的学具资源运用不恰当，加上教师组织教学不合理，导致学生的数学学习停留于浅层。压缩的学习过程，照本宣科的简单描述，机械强化的习题训练，导致学生理解肤浅、思考不深。要解决这些现实问题，开发丰富的数学学具资源，显得尤为重要。小学
数学学具资源是根据小学生数学学习的实际需求，遵循数学学科特点和小学生认知发展规律，由教师、学生及专业团队设计、制作、加工、改造形成的丰富、系统的材料和器具。数学学具具备安全性、科学性、直观性、交互性和可操作性，其材质、种类、来源和功能颇为多样化。强调数学学具本身的学科特质且学生在操作学具时所处的环境是在数学学习中，是数学学具与其他学具的不同之处。
近五年来，我们数学教研团队针对学具资源开发和使用中的现实问题，在深入分析小学数学教学内容背后的数学内涵和逻辑关联基础上，聚焦教与学的方式改进，研制和运用丰富的学具资源，支持学生的深度学习。本文以“图形的认识”教学为例，着重探讨如何利用数学学具资源，帮
用好数学学具资源，促进深度学习
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——以“图形的认识”教学为例
郎宏坤
助学生深度理解和系统建构数学知识，发展高阶思维能力，从而促进深度学习。
一、利用学具促进深度理解
小学生思维发展以具体形象为主，逐步向抽象思维过渡，教师应据此特点为学生提供更多动手操作、动脑思考、动口交流，多感官参与学习的机会，让学生借助具体可感的实体性学具操作，丰富数学活动体验，主动探索数学对象的特征和本质，加深知识理解。
数学学具具有切近数学内容和学科本质的特点。虽然市面上有一些现成的学具销售，但并不一定适合学生对于特定内容学习的需求，也不一定能凸显数学知识本质，如有些学具的外形、颜、结构过于具象和繁杂，在一定程度上会干扰学生对数学内容本质的理解。以“图形的认识”为例，数学意义上的图形是点、线、面、体以及它们的组合，都是抽象的产物。这种抽象不仅舍弃了物体的颜、质量、材质等物质属性，而且还忽略了某些空间属性，如“点是没有大小的”等。因此，教师应根据学生的学习内容、思维发展特点精心挑选适切的学具，并对选用的学具进行必要的加工和改造，去除学习的干扰因素，使其
直观展现研究对象的主要数学特征，成为学生认识数学意义上抽象对象（如数形及其关系、结构等）的现实模型，这种模型实际上介于具体实物和抽象数学对象之间，更符合学生的思维发展特点，因而更有助于学生达成数学深度学习。
在教学过程中，教师应设法利用数学学具来提升学生的数学理解水平。英国学者斯根普把数学理解分为两个水平：工具性理解和关系性理解。工具性理解指语义性或程序性理解，即符号代表什么事物或规则怎么操作；关系性理解则需对符号的意义、获得符号指代物意义的途径、规则的逻辑依据等有深刻的认识。因而教师将数学学具用于深度学习时，应注重引导学生深入理解“为什么”“如何获得”等，而不停留在程序化的学具操作、表面的概念释义等工具性理解层面。
以苏教版小学数学四年级上册《认识垂线》的教学为例，学生借助数学学具研究两条直线相交的位置关系，认识垂线概念。教师选用两条同的硬卡纸条，交点处用一个纽扣固定，形成可绕交点旋转任意角度的“两条直线”。教师引导学生聚焦两条直线相交形成的角，组织学生操作、观察、交流，整合角的分类知识，促使学生深度理解垂线概念。首先，学生从视觉上直观感知两条直线相交形成的角的特点（静态观察），互相交流自己的发现并借助学具作出相应的解释：两条直线相交形成了四个角，四个角共用一个顶点（交点），有两个锐角和两个钝角，相对的两个角看上去一样大，一个锐角和一个钝角合起来恰好是一个平角。接着，学生继续观察交点固定的情况下，随着学具转动，两条直线位置关系怎样变化、所形成的四个角的大小随之发生怎样的变化（动态观察）。最后，引导学生聚焦特殊情形：当两条
直线相交形成的四个角有一个角变成直角时，另外的三个角也同时变成直角，探讨其中的道理。学生如果继续转动学具，两条直线相交形成的四个直角又会变为两个钝角和两个锐角。
大部分学生能凭借手中的数学学具，运用本单元前面已经学习的直角、平角和周角的相关知识，对两条直线互相垂直的这一特殊位置关系作出解释说明，在动手操作、充分感知的基础上，主动整合不同的数学知识作为理解概念的大背景，了解垂直概念的由来与合理性，认识垂直的本质，从而深度理解垂线的概念。
二、利用学具发展高阶思维
“我听见了，但可能忘记；我看见了，就可能记住；我做过了，便真正理解了。”这句话揭示了“儿童智慧在指尖”的认知规律。教师应合理选用数学学具，让学生围绕挑战性问题，从不同角度、按不同思路、以不同方法自由操作学具，主动探究和解决问题，在此过程中引导学生分析、评价和创造，促进学生高阶思维的发展。
问题是数学的心脏，挑战性问题则是高阶思维的源泉。设计制作数学学具，一般都力求贴近数学内容，帮助学生克服数学学习的难点。师生或借助学具操作，从动手实践中提出挑战性问题；或在求解挑战性问题的过程中，充分利用学具的
直观性、可操作性，观察和研究数学对象的特征、结构，探寻解决问题的思路方法，从而将学具使用和问题的提出、分析和解决密切结合起来，促进学生高阶思维的发展。
学具操作的目的在于让学生经历自由探索、发现新知的过程，教师非必要不示范，鼓励学生互相合作、大胆尝试。在此过程中，学生对学具操作、问题探究的结果进行分析，把握其中的核心要素和关键要领，并对结果进行改进、拓展；此外，学生操作、探究的结果往往是开放的、多样的，这样有利于学生通过合作交流去比较、评价不同结果，促进反思建构，产生新思考，获得新发现，从而充分释放学习的潜力，展示个性化“数学创造”的过程，为学习新的阶段性知识起到引渡作用，在分析、评价和创造中发展高阶思维。以“图形的认识”为例，学生通过学具操作，化静为动，探索图形特征，引发多角度的“深思”，进而带来不一样的“创见”。
高阶思维的产生依赖于高质量的问题情境设计。例如，苏教版小学数学五年级下册《圆的认识》，课始可以“套圈游戏的公平性”这一挑战性问题导入。学生小组合作，用红柱状磁钉代表小熊，蓝圆片磁贴代表游戏者，在磁性小白板上，利用小棒辅助确定游戏者的位置，确保游戏公平性。教师呈现具有代表性的几种方法，组织学生观察、比较、辨析：有的学生排成一排，有的学生想到围成正多边形（如正方形），学生交流时运用“点到直线的距离”说明此类方案中并非所有位置到目标物的距离都相等，此时套圈游戏并不公平。还有学生想到，以小棒为辅助工具进行度量，确保每个游戏者（磁贴）到目标物
（磁钉）的距离是一样的，这样每人到目标物等距离围成一圈（如图1），就能保证游戏的公平性。
图1
借助问题情境，教师启发学生继续思考：“如果有更多人参与游戏，要保持游戏公平性，最终
所有人站成的位置会形成什么图形？”学生从“中心点到边线之间距离是否相等”的角度，比较圆形和正多边形之间的联系和区别，初步渗透“当n 趋向于无穷大时，正n 边形可看作圆形”这一极限思想，发挥学生的直观想象。学生利用学具进行操作、展示与讨论，对圆的本质特征形成动态的、深刻的认识。
课尾，教师可以适度拓展：“我国古代就有关于圆的精确记载，思想家墨子在他的著作中这样描述，‘圆，一中同长也。’你知道‘一中’是指什么吗？‘同长’又是指什么呢？”鼓励学生动脑想一想、动手试一试，只用直尺和铅笔画出一个半径5厘米的圆。学生动手尝试后，教师突破常规，引导学生利用直尺确定与中心点距离为5厘米的无数个点，然后连点成曲线画出圆。画圆工具和画圆方法的变化，促使学生回归对圆的数学本质的认识，与课始“无数与中心点距离相等的点形成一个圆”呼应。
三、利用学具系统建构知识
为支持小学生的数学学习，不仅要为他们选用学具、操作学具提供便利，更要给予他们制作学具的材料和机会。一些稍复杂的数学学具，其本身作为介于具体和抽象之间的研究对象，具有复合的结构和多方面的数学内涵、意义（如点、线、面及其关系等）。学生在制作和运用数学学具的过程中，通过设计、操作、观察、探索、领悟，不仅增强了动手能力，丰富了活动体验，而且可以更好地了解数学对象的生成、变化、特征。特别是，通过拼装、拆解、移动、试错、改进、创新等，学生可更具体直观地认识和把握数学学具的组成元素及其关系，从整体和局部把握其结构特征，还可认识不同学具之间的关联复合，从而有助于体悟多方面数学知识及其意义，系统建构知识。
以“立体图形的认识”为例，学生对立体图形特征的系统认识，要求深刻理解有关面、棱、
顶点的内在关联性，仅靠静态观察现成的学具模型是远远不够的。学生需要经历制作立体模型的动态过程，在此过程中，直观感悟“面与面相交形
成棱”“多个面或多个棱相交于顶点”等，借此感知图形组成要素及其关系。因此，学生制作立体模型的过程，也是对立体图形各要素及其作用、关系进行探索发现、逐步感悟的过程，由此可以增强对立体图形相关知识的系统认识。
例如，教学苏教版小学数学六年级上册《长方体和正方体的认识》，教师为每组学生提供了三种不同的材料：不同规格的长方形磁力片凸显“面”，长短不一的连接杆凸显“棱”，三通连接头凸显“顶点”，相同大小的小正方体隐含“体积”（如图2）。
长方形和正方形磁力片连接头和连
接杆
可组合小方块图 2
教师组织学生小组合作，分别用磁力片围一个长方体和正方体，用连接杆和连接头搭一个长方体和正方体框架，用相同大小的小方块拼成长方体和正方体。学生在制作长方体和正方体学具模型的过程中，自然感受到立体图形核心元素（面、棱、顶点）的特征，将其确定为思维导图的关键词，同时引导学生发现和理解元素间的关联（如图3），即棱是两面相交成的线段，顶点既是三条棱相交的点，也是三个面相交的点等。
2个面交于1条棱3条棱交于1个顶点
1个面上4条棱1条棱上2个顶点
1个面上有4个顶点
3个面交于1个顶点
江苏邮编面棱顶点
图 3
教师提供丰富多样的制作材料，为学生制作学具提供保障。学生在制作长方体和正方体学具模型的过程中，不再是被动、消极地接受知识，而是调动各种感官，以动态生成的方式形成对长方体和正方体核心元素“面、棱、顶点”的认识，形成立体图形的清晰表象，感悟核心元素的内在关联。教师指导学生进行开放性的探究活动，让学生以多样的、动态的视角观察自己做的立体模型。同时，组织生生对话，借助思维导图逐步呈现数形结合的结论。例如，鼓励学生从不同的角度发现面、棱和顶点的数量，可以有序地数、巧妙地算：可以用不同的算式表征不同的想法，如6个面，可以用“4+2”表示周围4个面加上下两个面，也可以用“2×3”表示上下、左右和前后合计6个面，还可以用一个相同的算式表示不同的想法，或从观察的方位来思考等。教师引导学生发挥空间想象，突破思维定式，促进学生主动建立长方体和正方体面、棱和顶点之间的内在关联，动态构建并完善知识结构。
参考文献：
[1]安富海.促进深度学习的课堂教学策略研究 [J].课程·教材·教法，2014（11）.
[2]喻平.小学数学深度学习的路向 [J].教育视界，2019（4）.
[3]黄为良.“图形的认识”内容分析与学生常见的认知困惑[J]．小学数学教育，2018（3）.
[4]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）[S]．北京：北京师范大学出版社，2022.
[5]郭华. 深度学习及其意义 [J]. 课程·教材·教法，2016（11）.
（郎宏坤，特级教师，江苏省兴化市教师发展中心，邮编：225700 ）

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