考研数学二-122
考研数学二-122
(总分：153.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：8，分数：32.00)
1.设f"(x)在x=0处连续，[*]，则( )


（分数：4.00）
 A.f(0)是f(x)的极大值
 B.f(0)是f(x)的极小值
 C.(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点 √
 D.f(0)非f(x)的极值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点
解析：由[*]得f"(0)=0，由极限保号性，存在δ＞0，当|x|＜δ时，[*]
当x∈(-δ，0)时，因为ln(1+x)＜0，所以f"(x)＜0；当x∈(0，δ)时，因为ln(1+x)＞0，所以f"(x)＞0，于是(0，f(0))为y=f(x)的拐点，选(C)．
2.设D为xOy平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在D上连续，在D内可偏导且满足[*]+[*]，若f(x，y)在D内没有零点，则f(x，y)在D上( )


（分数：4.00）
 A.最大值和最小值只能在边界上取到 √
 B.最大值和最小值只能在区域内部取到
 C.有最小值无最大值
 D.有最大值无最小值
解析：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上一定取到最大值与最小值，不妨设f(x，y)在D上的最大值M在D内的点(x0，y0)处取到，即f(x0，y0)=M≠0，此时[*][*]，这与[*]矛盾，即f(x，y)在D上的最大值M不可能在D内取到，同理f(x，y)在D上的最小值m不可能在D内取到，选(A)．
3.曲线y=x2与[*]所围成的图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积为( )
[*]


（分数：4.00）
 A.
 B.
 C. √
 D.
解析：[*]
4.设[*]，其中F为可微函数，则[*]为( )


（分数：4.00）
考研总分是多少 A.z-xy
 B.z+xy √
 C.z-2xy
 D.z+2xy
解析：[*][*]，选(B)．
5.对三阶矩阵A的伴随矩阵A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的-2倍加到第三列得-E，且|A|＞0，则A等于( )
[*]


（分数：4.00）
 A. √
 B.
 C.
 D.
解析：由-E=E13A*E23(-2)得[*]，因为|A*|=|A|2=1且|A|＞0，所以|A|=1，于是A*=A-1，故[*][*]
6.n元线性方程组Ax=b有唯一解的充要条件是( )



（分数：4.00）
 A.A为可逆的方阵
 B.齐次线性方程组AX=0只有零解
 C.A的行向量组线性无关
 D.矩阵A的列向量线性无关，且向量b可由A的列向量组线性表示- √
解析：矩阵A可逆是方程组AX=b有唯一解的充分不必要条件，(A)不对；
若AX=0只有零解，则r(A)=n，但不能由此推出[*]，(B)不对；
A的行向量组线性无关只能保证A行满秩，从而方程组AX=b一定有解，但不能保证有唯一解，(C)不对；
若矩阵A的列向量组线性无关，则r(A)=n，又若b可由A的列向量组线性表示，则r(A)=[*]，于是方程组AX=b有唯一解，选(D)．
7.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为( )

[*]


（分数：4.00）
 A. √
 B.
 C.
 D.
解析：因为y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解，所以其对应的特征方程的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，其对应的特征方程为
(λ-1)2(λ+1)一0，即λ3-λ2-λ+1=0，
则微分方程为[*]，选(A)．
8.设y=x3+3ax2+3bx+c在x=-1处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则( )


（分数：4.00）
 A.a=1，b=-1，C=3
 B.a=0，b=-1，c=3 √
 C.a=-1，b=1，C=3
 D.a=1，b=1，c=3
解析：y'=3x2+6ax+3b，y"=6x+6a，则有[*]，解得a=0，b=-1，c=3，选(B)．
二、填空题(总题数：6，分数：24.00)
9.若当x→0时，(1+2x)x-cosx～ax2，则a= 1．


（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*]）
解析：因为当x→0时，(1+2x)x-1=exln(1+2x)-1～xln(1+2x)～2x2，所以[*]
10.设f(x)=x2ln(1+x)，则f(50)(0)= 1．


（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*]）
解析：[*]
11.[*]


（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：10π）
解析：[*]
[*]
12.由方程[*]所确定的函数z=z(x，y)在点(1，1，2)处的全微分dz= 1．


（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*]）
解析：[*]
13.设函数y=y(x)在(0，+∞)上满足[*]，贝y(x)=______．


（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：x(1-cosx)）
解析：由可微的定义，函数y=y(x)在(0，+∞)内可微，且[*]或[*]=xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得
[*]
由[*]得C=1，所以y=x(1-cosx)．
14.设矩阵[*]，矩阵A满足B-1=B*A+A，则A= 1．


（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*]）
解析：[*]B-1=B*A+A两边左乘B得E=2A+BA，即(B+2E)A=E，则[*]
三、解答题(总题数：9，分数：97.00)
15.设f(x)在[0，1]上可微，且[*]．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=2ξf(ξ)．


（分数：11.00）
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正确答案：([分析] 由f'(x)=2xf(x)得[*]，从而[lnf(x)]'+(-x2)'=0，进一步得[-lnf(x)]'+[*]=0，于是[*]，故可设辅助函数为[*]．
令[*]，显然φ(x)在[0，1]上可微，由积分中值定理得
[*]
其中[*]，于是φ(c)=φ(l)．
由罗尔定理，存在[*]，使得φ'(ξ)=0．而[*]，所以[*]，注意到[*]，故f'(ξ)-2ξf(ξ)=0，即f'(ξ)=2ξf(ξ)．)
解析：
16.设抛物线y=ax2+bx+c过点(0，0)及(1，2)，其中a＜0，确定a，b，c，使抛物线与x轴所围成的面积最小．


（分数：11.00）
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正确答案：(由抛物线y=ax2+bx+c过点(0，0)及(1，2)得c=0，a+b=2或b=2-a，c=0．
因为a＜0，所以b＞0，由ax2+bx=0得x1=0，[*]．
[*]令S'(a)=0得a=-4，从而b=6，故a=-4，b=6，c=0．)
解析：
17.计算二重积分[*],其中D=(x，y)|≤x，y≤1．



（分数：9.00）
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解析：
18.设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＜0，x0∈[a，b]，证明：
f(x)≤f(x0)+f'(x0)(x-x0)，
等号成立当且仅当x=x0，并证明f(x)在(a，b)内是上凸的函数；
(Ⅱ) 设f(x)∈C[0，1]且f(x)＞0，证明：[*]．


（分数：11.00）
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正确答案：((Ⅰ) 由泰勒公式得
[*]，其中ξ位于x0与x之间．
因为f"(x)＜0，所以f(x)≤f(x0)+f'(x0)(x-x0)，等号成立当且仅当x=x0．
任取x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，取[*]，因为f"(x)＜0，所以f(x)≤f(x0)+f'(x0)(x-x0)，等号成立当且仅当x=x0，于是
[*]
两式相加得[*]，由凹凸性定义得f(x)在(a，b)内是上凸的函数．
(Ⅱ) 令φ(t)=lnt，取[*]，因为[*]，所以φ(t)＜φ(t0)+φ'(t0)(t-t0)，于是φ[f(x)]＜φ(t0)+φ'(t0)[f(x)-t0]，两边积分得[*]．)
解析：
19.已知微分方程[*]，作变换u=x2+y2，[*]，w=lnz-(x+y)，其中w=w(u，v)，求经过变换后原方程化成的关于w，u，v的微分方程的形式．


（分数：11.00）
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正确答案：(w=lnz-(x+y)两边关于x求偏导得[*]；
w=lnz-(x+y)两边关于y求偏导得[*]，
解得[*]
[*]
代入原方程整理得[*]．)
解析：
20.计算二重积分[*]，其中区域D是由直线x=-2，y=0，y=2及曲线[*]所围成的平面区域．


（分数：11.00）
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正确答案：(设曲线[*]与y轴围成的平面区域为D0，
[*]
[*])
解析：
21.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状．若它在进入大气层开始燃烧的前3s内，减少了体积的[*]，问此陨石完全燃尽需要多少时间?


（分数：11.00）
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正确答案：(设陨石体积为V，表面积为S，半径为r，它们都是时间t的函数，
[*])
解析：
22.设[*]，问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解，有解时求出全部解．


（分数：11.00）
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正确答案：(令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩阵方程化为A(ξ1，ξ2，ξ3)一(β1，β2，β3)，即[*]
[*]
当a=1，b=2，c=-2时，矩阵方程有解，
[*]
方程组Aξ1=β1的通解为[*](k为任意常数)；
方程组Aξ2=β2的通解为[*](ι为任意常数)；
方程组Aξ3=β3的通解为[*](t为任意常数)，
于是[*](其中k，ι，t为任意常数)．)

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