2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
B题 太阳能小屋的设计
摘要：
在太阳能小屋的设计中为实现太阳能光伏板最佳朝向、倾角及排布阵列设计及优化，通过建立倾斜放置的光伏板表面接收太阳辐射能模型，计算到达光伏板上的太阳辐射能量，推导出光伏板的最佳朝向及倾角。为使光伏板最大限度地接收太阳辐射的能量，在选择合适的朝向及倾角的基础上，对光伏电池排布阵列，建立目标规划，并通过与实际逆变器的相互匹配，不断对目标进行优化，最终得到一组最优解。通过上述研究，结合山西大同市本地情况，重新设计出一个更加适合当地地理及气象条件的太阳能光能房屋并为其选择最优的阵列排布方案。
针对问题一：电池板只是铺设房屋的表面，没有涉及到电池板放的角度问题，先求算出房屋的角度为10.62度，再根据角度，建立模型算出光伏板上太阳能辐射量。并用目标规划阵列排列方案计算出电池的排布。再通过排布计算出经济效益，最后得出35年之内无法收回成本。
针对问题二：通过对角度建立模型，计算得出最佳角度44.66度，通过排布计算出电池板排布
最佳方案，建立模型计算出经济效益，在28.5年收回成本。如考虑货币时间价值，35年的经济效益是亏损的。
针对问题三：要通过目标构建一个产电量尽量大，而成本尽量小的理想模型。假设小屋无挑檐、挑雨棚（即房顶的边投影与房体的长宽投影相等），建立模型计算出最佳的图形，并画出模型图。
关键字：太阳能 太阳能辐射模型 最佳倾角 电池 模型 目标规划
一.阐述问题
太阳能作为迄今人类所认识的最清洁的可再生能源，其与建筑一体化将在建筑节能中起到十分重要的作用。屋顶在建筑外围结构中所接受的日照时间最长，接受的太阳辐射量也最大，具有利用太阳辐射的优越条件，同时，屋顶较开阔，便于大面积连续布置太阳能设备，因此，在城市中，建筑屋顶是太阳能利用的最佳场所。目前，许多国家已纷纷实施和推广“太阳能屋顶计划”，如有德国十万屋顶计划、美国百万屋顶计划以及日本的新阳光计划等。我国属于太阳能利用条件较好的地区，尤其是青藏高原地区太阳能。
二.问题的分析
图1 流程图
首先，根据附件给出的数据进行分析和运算。已知山西大同市的地理条件（经纬度、海拔等等）、全年每个小时水平面总辐射强度、水平面散射辐射强度、法向直射辐射强度、各个方向总辐射强度等，建立太阳辐射几何模型，再由几何模型建立数学模型，得到各个表面每个小时太阳能光伏板表面的辐射量和中间参数的关系，将已知参数带入关系式得到各个表面每个小时太阳能光伏板表面的辐射量，又已知太阳能光伏板在不同年限内的转换效率（所有光伏组件在0～10年效率按100%，10～25年按照90%折算，25年后按80%折算），由此得到各个表面每个小时太阳能光伏板的发电量。
根据已知太阳能光伏板在各表面每个小时发电量的条件下，考虑小屋各外表面电池组件铺设分组阵列及组件连接方式（串、并联），做好初步预算并通过光伏电池和逆配器的参数等等数据对阵列排布进行目标规划，以求得最大的发电量及最小的费用，并给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。
第一小题，仅仅需要考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设。首先在已建立的数学关系模型中带入贴俯安装方式下各个变量的关系式和各个定量的值，
得到此安装方式下各种型号的太阳能光伏板在各个表面的发电量，然后对各种型号的太阳能光伏板进行优化组合，得到一种最优的组合阵列，并得出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。
第二小题，着重考虑电池板的朝向与倾角，也就是在第一个问题的基础上，对太阳能光伏板的朝向与角度进行优化。首先考虑架空安装方式下太阳能伏板阵列排布的朝向，由于太阳总辐射中的散射部分与阵列朝向无关，所以只需要考虑阵列上太阳直射辐射强度随阵列面朝向的变化即可。光伏板的放置朝向可分为朝向赤道和任意方向两种，在相同倾角的情况下，赤道斜面接收的辐射能量要大于任意方向辐射接受的能量，所以在此仅讨论第一种情况，即电池板朝向赤道摆放时最佳倾角的选择及阵列的排布方式。题里给出地理纬度、地形高度等参数以后，倾角为的太阳能伏板表面1年内接受的总辐射Q是一个关于变量的函数Q（），对Q（）关于变量求导并取值为0，即
求解方程，即可得到年最佳倾角。至此，朝向及倾角问题已解决，对于太阳能伏板的选择及优化与第一题相同，对组合阵列进行目标规划，得到一种最优组合。
第三题，根据附件7给出的小屋建筑要求，为大同市重新设计一个小屋。综合前前两道小题的结论，本题以原有小屋为基础，尽量提高房屋的有效利用面积，并依据已有模型给出小屋太阳能伏板的最佳朝向及最佳倾角，从而得到一个高效太阳能小屋。
三.模型的假设
1.模型的建立
1．1几何关系建立及基本参数的确定
S东=S总-S门=24.23m^2
S南=S总-S圆-S窗-S车库=21.78m^2
S西=26.98m^2
S北=S总-S窗-S门=28.119m^2
S南（顶）=60.785097m^2
S北（顶）=14.031368m^2
以上全部根据题中给出数据计算。
四.模型的建立与求解
1．问题一的模型
1．1几何关系建立及基本参数的确定
首先对房屋顶面建立几何模型：
图2
图3
由几何模型可以推导出
根据附件中山西大同市实地测量数据，结合已建立的几何模型，建立倾斜放置的光伏板表面太阳辐射量数学模型，系统框图如图1所示。
图4 倾斜放置的光伏板表面太阳辐射量数学模型建立
已知山西大同市的地理参数（纬度、地形高度等）以及中间参数（日序、光伏板倾角、方位角和时刻），可以得到逐时太阳能光伏板表面的辐射量和中间参数的关系。将逐时太阳能光伏板表面辐射量关于时间积分得到某一天的日辐射总量，再将关于N累加得到太阳能光伏板表面的年累计辐射量（）。北半球国家
计算地球表面任一点的太阳辐射量，首先确定一些基本的天文参数，主要包括地球表层大气外界上空的垂直太阳辐射强度、赤纬角、太阳高度角、太阳方位角和日出日落时刻等。
由几何模型可以推导出
根据附件中山西大同市实地测量数据，结合已建立的几何模型，建立倾斜放置的光伏板表面太阳辐射量数学模型，系统框图如图1所示。
图5 倾斜放置的光伏板表面太阳辐射量数学模型建立
已知山西大同市的地理参数（纬度、地形高度等）以及中间参数（日序、光伏板倾角、方位角和时刻），可以得到逐时太阳能光伏板表面的辐射量和中间参数的关系。将逐时太阳能光伏板表面辐射量关于时间积分得到某一天的日辐射总量，再将关于N累加得到太阳能光伏板表面的年累计辐射量（）。
计算地球表面任一点的太阳辐射量，首先确定一些基本的天文参数，主要包括地球表层大气外界上空的垂直太阳辐射强度、赤纬角、太阳高度角、太阳方位角和日出日落时刻等。
1.1.1太阳赤纬角
日地中心连线与赤道的夹角称为赤纬角，赤道以北为正、南为负，近似等于：
(度)
其中为日期序号，例如，1月1日为，3月22日为。（该定义摘自《太阳能应用技术》的第二章——太阳辐射）
1.1.2日出、日落时刻（）
在北半球，纬度为、朝向正南、与水平面成倾斜角的太阳能电池板上，太阳光的入射角与纬度为（）的水平面上太阳光入射角是相等的，即
为倾斜面上日出、日落时角，
由上可以得到倾斜面上日出日落时刻：
1.1.3太阳高度角
太阳高度角是太阳相对于地平线的高度角，这是以太阳视盘面的几何中心和理想地平线所夹的角度。太阳高度角可以使用下面的算式，经由计算得到很好的近似值：
其中为太阳高度角，为时角，为当时的太阳赤纬，为当地的纬度(大同的纬度为)。（该定义摘自）
1.1.4太阳方位角（A）
太阳方位角是太阳在方位上的角度，它通常被定义为从北方沿着地平线顺时针量度的角。它可以利用下面的公式，经由计算得到良好的近似值，但是因为反正弦值，也就是有两个以上的解。
下面的两个公式也可以用来计算近似的太阳方位角，不过因为公式是使用余弦函数，所以方位角永远是正值，因此，角度永远被解释为小于180度，而必须依据时角来修正。当时角为负值时 (上午)，方位角的角度小于180度，时角为正值时 (下午)，方位角应该大于180度，即要取补角的值。
其中为太阳的方位角，为太阳高度角，为时角，为当时的太阳赤纬，为当地的地理纬度。（该定义摘自）
1.2太阳能光伏板上太阳能总辐射量的计算
光伏板的放置方式可分为朝向赤道和任意方向两种，在相同倾角的情况下，前者斜面接收的辐射能量要大于后者，所以在此仅讨论第一种情况。
某一时刻，太阳能伏板上接收的总辐射能量主要由法向直接辐射能量（）和散射辐射（）组成，即：
式中，电池板上太阳瞬时直接辐射能量:
电池板上瞬时太阳散射辐射:
一天内，太阳能伏板接收的太阳能总辐射能量为：
式中，分别表示日直接辐射能量和日直接散射能量
年辐射总量为：
各电池光伏板发电量（）：
Q=
光伏电池实际价值：
35年寿命期内的发电总量()根据折旧要求，所有光伏组件在0～10年效率按100%，10～25年按照90%折算，25年后按80%折算，即：
=
35年寿命期内的经济效益为应为发电总价值—光伏阵列的总造价，即：
为电池光伏板的面积，（元/Wp）光伏电池的价格，为光伏电池的转换效率。
1,3 贴附安装方式下太阳能伏板阵列排布方案及太阳总辐射能计算
根据山西省大同市的气象数据，贴附安装方式下，。带入公式计算可得此条件下，房屋全年接收的总太阳辐射能量为W总=91607153.50 。已知各型号光伏电池的面积和转换效率，则根据W总可以得到各电池光伏板的实际发电量以及实际成本。此时，将考虑如何排布太阳能伏板阵列。我们为了电池的排布达到最佳状态，建立阵列排布，来电池最佳排布和逆电器的型号确定。
()
为整数
其中为第种类型种规格电池在面上的数量
为1块类型规格电池在面上的接收辐射量
第种类型种规格电池的价格 第种类型种规格电池的面积 表示表示面的面积 当时 表示顶面当时 表示北斜面 当时 表示东面 当时 表示南面 当时 表示西面 当时 表示北面
为第种类型种规格电池对应第种逆变器的电池数量 ；
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