例谈类比推理
山东 许美文
事物的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似.因此,我们可以根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这种推理叫做类比推理.类比的结论可能是真的，因此类比属于合情推理。
类比推理的一般步骤是：(1）出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出（猜想出）一个明确的命题.
例题：出等差数列与等比数列的相似性质，并用等差数列的下列性质类比等比数列的有关性质：
(1）等差数列中，如果且则；
(2）从等差数列中抽去项数成等差数列的项(顺序不变）,仍构成等差数列。
（3）对于有穷等差数列,与首尾两项等距离的两项之和相等。
（4)等差数列中，仍成等差数列。
（5）等差数列中，若项数为2n,则;若项数为，则。
解：等差数列与等比数列有下列相似的性质：
（1）两拨等差数列的定义：从第二项起每一项与它前一项的差等于同一个常数;
等比数列的定义：从第二项起每一项与它前一项的比等于同一个常数。
（2）等差数列的通项公式是:前n项和:；
等比数列的通项公式是:前n项和：。
(3）若a、b、c成等差数列,则b叫做a、c的等差中项,且；
若A、G、B成等比数列，则G叫做A、B的等比中项，且。
通过与等差数列性质的类比,可以推测等比数列的有关性质:
等差数列 | 等比数列 |
若且则 | 若且则 |
从等差数列中抽去项数成等差数列的项(顺序不变），仍构成等差数列。 | 从等比数列中抽去项数成等差数列的项（顺序不变），仍构成等比数列. |
对于有穷等差数列，与首尾两项等距离的两项之和相等。 | 对于有穷等比数列,与首尾两项等距离的两项之积相等。 |
等差数列中，仍成等差数列。 | 等比数列中,仍成等比数列。 |
等差数列中,若项数为2n,则；若项数为，则。 | 等差数列中，若项数为2n，则；若项数为，则。 |
其中前四个类比得到的结论是正确的,最后一个则是错误的.由此可见，类比的结论只具有或然性,即可能真,也可能假。
类比具有从特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实十分有用.例如：在平面几何里,有勾股定理:“设的两边AB、AC互相垂直，则。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是:“设三棱锥的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则.”
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