数学建模中经济与金融优化模型分析
时代金融
数学建模中经济与金融优化模型分析
摘要：经济与金融领域的发展，对高端技术人才，尤其是数学建模人才的需求量日益增加，通过数学建模对经济学理论和金融知识进行分析，可构建利润、收益和成本的函数关系，实现经济学相关风险要素的管理和控制。本文主要分析了数学建模中的经济与金融模型优化意义，在理论意义和现实意义上对相关问题进行分析，并结合经济领域和金融中的案例，对数学建模进行研究，使得相关经济学理论能够应用在实践工作中，促进理论与实践融合。
关键词：数学建模  经济与金融  优化模型
● 曹毅
现阶段，复杂的外部市场竞争环境，对金融市场造成一定冲击，针对金融行业工作人员而言，具备扎实的理论实施，熟练掌握数学建模中经济与金融优化模型，能够对市场不利因素做出准确分析，并且根据相关风险要素和现有技术理论，研究有针对性的解决方案，为相关决策行为作出参考。数学建模理论具有实用性与必要性，不仅能够对金融理论进行检验，而且对指导经济实践活动产生深远影响，相关研究人员应对此提高重视。
一、分析数学建模中经济与金融优化模型的意义
（一）理论意义
通过数学建模能够建立金融与数学理论之间的桥梁和纽带，实现对问题科学合理分析，使得金融理论知识框架更加系统有效。使用数学建模理论对金融和经济原理进行分析，是目前实证分析的重要组成部分，对促进研究深化具有重要影响。理论上，金融理论知识可通过统计学、线性方程等进行分析，达到基于可靠数据的优化模型，对丰富金融理论起到关键作用。
数学建模下，对经济学和金融学知识理论进行研究，能够为相关决策人员提供参考，并且对目前研究理论进行完善。通过对理论知识的分析和应用，相关人员构建基于不同金融业务下的数学优化模型，通过具体案例，使得金融学理论知识内在价值得到开发，能够有效解决现有经济学中的理论问题［1］。
（二）现实意义
数学建模中，分析经济理论和金融知识，对实践工作具有指导作用，相关人员应认识到理论模型的重要现实意义，结合经济生活和金融领域中的实际问题，对数学模型进行分析，使得研究过程更加科学有效。实际工作中，大部分金融业务活动都可在数学中进行抽象运用，通过构建模型和数据参数的方式，促使理论与实际相结合，对解决实际问题产生深远影响。相关人员分析数学模型，通过模型情况对实际
工作进行指导是业务人员的基本技能，对金融行业发展意义重大。同时，通过模型分析能够提高金融活动研究的深度与广度，为金融学高端人才的培育提供解决方案，进而提高经济领域和金融行业竞争优势。
二、数学建模中经济与金融优化模型分析
（一）柯布道格拉斯生产函数
分析中，选取柯布道格拉斯生产函数，对相关数学模型进行分析，关注模型优化，使得相关研究具有现实指导意义。生产函数形式为：
Q（L，K）=aLαKβ
公式中，Q为生产量，a为常数，L表示企业生产过程投入的劳动力；K为投入的劳动资本：L单位为万人，K单位为万亿元；α为劳动力产出系数，β为资本产出弹性系数。模型研究中，假设企业商品销售量为S，销售量与生产量Q 相等，即存在相等条件S=Q=aLαKβ。
此时，生产企业销售收入为I，则I是商品销售量的二次多项函数，记为：
I=b0S+b1S2。记销售成本为P，固定成本为M0，则P与S存在以下关系表达式p=M0+c0S+c1S2，此时利润R表示为R=I-P=（b0-c0）S+（b1-c1）S2-m0
对经济学中的利润最大化问题，可通过以下数学表达式进行明确，得到利润优化模型：
maxR（L，K）=（b0-c0）aLαKβ+（b1-c1）aLαKβ
实际工作中，为求解利润最大化问题，经常对数据模型进行分析，并且将模型作出进一步优化，使用优化工具和函数模型，对数据进行编程并且录入计算，明确数据模型，实现对该问题合理求解［2］。
（二）有关资金最优使用问题
资金最优使用，提高资金使用效率，获得稳定收入是经
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济领域中的重要课题，相关人员应对此提高重视，研究有利于资金高效应用的合理对策。经济学中，对资金和技术进行研究，一般需要在具体的会计核算周期内开展，根据企业经营方式，流动资金管理工作需求，相关资金不能一次性使用或花费，因此需要研究资金使用效率，分析影响企业资本金变动问题，并且在合理的期限范围内，获得最大的资金使用效率，注重提升企业内在经济效益。
例如，分析以下问题：企业自有资金100万元，要求在4年内对资金进行完全使用。企业会计人员对资金使用情况进行记录。第一年，该部分资金使用X万元，获取收益为y=万元。对于当年不可用资金，可选
择存入银行账户，并且对利息收入进行核算，完成整个计算流程。资金使用年份记录为x1、x2、x3和x4，根据数学统计知识得到如下结论，倘若资金在不使用情况下不产生任何经济效益，则资
金最优使用可通过以下计算式进行表达：，但是，
鉴于资金在存入银行或其他用途会产生利息收入，则对相关数模型进行优化，得到：
观察模型特征，可知相关模型满足非线性条件，在具体计算过程中，需要将目标函数转化为最小值，根据实际参数和具体变量，对公式进行求解。实践研究中，在计算机模型优化工具箱中，使用了fmincon函数，利用编程方式实现对计算结果的准确导出。
在经济和金融实际问题分析中，不仅建立了非线性函数模型，也可通过代数方程、回归分析和智能算法等多种方式，对数据建模方式进行丰富，研究有利于解决实际问题的有效计算方法。经济和金融活动中，有关资金最优使用的问题，也可参考其他数学模型，例如，求方程的最优解，通过对相关变量的控制，达到理想条件［3］。实践应用中，应结合问题实际情况，选择合适的数学模型，并且对建模过程的科学性与合理性进行分析，提出具有参考价值的理论成果。
（三）投资风险组合优化模型
金融分析中，投资组合优化十分重要，利用数学建模方法，对资产组合进行分析，能够获得稳定收益，
对增加投资者信心产生重要影响。例如，在某证券投资交易中，分别提供了三种股票A、B、C，对股票价格的变动情况进行分析，明确影响客户收益的具体因素。根据投资收益最大化，构建基于A、B、C的投资组合模型。假设A股票的年初价值为1元，年末受到市场经济和行情变化影响，股票价值实现上涨，此时股票价值为1.5元，客户收益率增加。实践分析中，提出以下问题，当客户手中出现闲置资金，在证券市场上寻求最优投资组合，为降低风险，获取稳定长久收益，对投资组合进行优化。
针对投资组合的优化分析，最早在1952年，著名经济分析师Mark研究了投资模型基本理论框架。考虑到股票投资标的和性质，将收益作为随机变量并且在理论研究过程中，充分考虑客户期望值这一数据，对风险因素进行控制。根据Mark模型中的关系，认为风险可通过收益的标准差进行表示，因此，在投资过程中，只需要控制资产收益的标准差，便可实现对风险的合理控制，帮助客户获得稳定收入。
理论研究，认为数据模型中，资产方差值越大则风险越高；而方差越小则认为风险较低，并且可控。证券金融市场实践中，一种股票的收益是否均衡是衡量股票价值的重要因素，可通过计算平均收益率这一指标，达到对相关数据的有效识别，实现对投资风险的预警和识别。投资组合的优化是获取最大利益的重要方法，在经济学和金融学分析中，应对相关投资理论进行分析。数据模型研究中，当协方差为0时，表示两组数据之间的相互影响不大。当协方差为正数时，倘若协方差越大，则影响效果越强。当协方差为负数时，表述存在负相关与协方差为正数的情况相反。
具体研究过程中，记股票A、B、C每年收益率分布是R1、R2和R3，则计算式中的Ri（i=1，2，3）可作为一个随机变量，字母E和D分别表示模型中的随机变量数学期望和方差。以COV表示两组随机变量之间协方差，根据数学概率论和统计方面知识，对投资组合的年收益率进行计算，则A、B、C股票的协方差年收益率矩阵满足：
在模型的构建中，以决策变量X1，X2和X3分别代表投资人股票A、B、C的投资比例，为方便计算流程，假设目前市场上不存在其他类型的投资。投资人闲置资金全部用于对股票市场投资，则满足以下条件：
X1，X2，X3≥0；X1+X2+X3=1
实践分析中，相关人员应考虑年收益率是一个变量，需要对其统计分析。将相关数据录入到计算机统计模型中，经过运算程序，能够发现投资组合决策结果与LINDO模型预测结果一致，计算误差在允许范围内。对模型数据进行分析可知，均值向量Mean与协方差矩阵COV计算结果与模型中的数据基本一致，说明数学建模合理有效，能够实现对股票组合投资收益的科学分析。
存在风险较小投资选择时，投资人不仅购买A、B、C 三种股票，也投资了风险更小的国库券，国库券的年收益率能够达到5%，与股票投资收益比较相对较低，但是，具有安全风险低的优势，在稳健型投资者中受欢迎。经济学和金融学领域中，根据客户的风险承受能力，将用户划分为不同等级，分别为保守型
投资者、稳健型投资者和风险偏好型投资者。相关人员应结合数学理论，建模分析不同投资偏好者，不同类型的资产组合方式，为金属领域投资选择提供可靠参考［4］。
本次研究中将低风险投资方式，如国库券和银行存款作
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为风险投资方式的特殊情况，使得研究过程更加简化，与数学模型相匹配。实际分析中，低风险投资获取的收益是固定的，因此，对比数据协方差，数据为0值。为构建有效的分析模型，对投资者行为进行假设，假设投资者购买A、B、C股票比例分别为y1、y2、y3，卖出股票的比例为z1、z2和z3，约束条件为：
X1，X2，X3≥0；y1，y2，y3≥0；z1，z2，z3≥0.
本次研究中为更加快速获取相关数据，简化了交易成本，并且省略费用核算环节。现阶段，所有股票持有者总资金规模不变，满足守恒定律，假设此时交易成本为0.01，资金规模使用单位1表示，则有以下表达式：
X1+X2+X3+0.01（y1+y2+y3+z1+z2+z3）=1
以计算机程序设计资金交易投资组合模型，对相关数据进行录入与计算，为保证结果精准性，提出以下两个基本假设：
一是在模型计算中，应获得的收益分布满足数学中正态分布规律，未来收益是否高于预期值，将不再对模型基本框架进行改动，只需要调整数据大小和计算过程便可。
二是对投资者行为作出的假设，投资者风险偏好较为明显，符合二阶矩阵和方差标准值，并且能够对风险进行识别，制定出有效的防范措施。然而，金融市场和经济实践活动中，风险作用机制是多元的，仅凭借对单一或二元因素的分析，与实际情况存在较大出入，研究过程真实性与合理性需要进一步分析。
（四）拍卖投标线性规划模型
为提升模型数据应用可靠性，对典型经济学问题进行分析，通过拍卖与投标对数学模型构建进行研究。相关模型对指导实际经济活动产生深远影响，相关人员应对此提高重视力度，注重分析经济学领域拍卖与投标中涉及的主要问题。
假设一家拍卖行采取委托拍卖的方式，对艺术珍藏品进行拍卖，场景设计如下：4个来自不同地区的投标人提交了投标书，项目数量、价格均存在不同。
对于这类问题，通过使用排列组合数学模型解决问题。实践中，会将艺术品优先卖给投标价格最高的投标人，但是这种方法在数学建模中，不能有效对物品清偿价格进行研究，因此，在分析过程中，作出假设：
首先建立一般模型，对本案例中的具体问题进行求解，假设共计有N个物品需要拍卖，第j类物品数量为Sj（j1，2....N）；此次拍卖中，有M个投标者，投标者i（i=1，2，....M），投标价格假设为Bij，Bij≥0。模型构建中，需要达到的理论目标是对第j类物品清算价格的确定，则实际上，清算价格Pj应满足下列假设条件：
一是拍卖中成交的第j类物品的数量不能超过Sj（j=1，2....N）；二是对第j类物品的投标价格低于Pj的，将不能获得该物品；三是倘若在拍卖物品的成交过程中，第j类物品的数量小于Sj，则认定Pj=0，（拍卖方另外制定最低价格的情况除外）；四是对j类物品的报价高于Pj，投标人有权获得该物品，以价格范围内投标价格较高者获得。
为满足计算标准，对模型进行优化，以0-1变量Xij表示将第j类物品拍卖给投资者i，即Xij=1表示分配合理；Xij=0则表示分配不合理。经过优化后的数学模型仍然满足总利润核算标准，计算公式可简要表达如下：
ΣΣbij*xij
相关模型可作为约束条件下利润最大化的目标函数，通过计算机程序对相关数据进行录入分析，设计了拍卖与投标相关函数核算程序，经过计算与实际情况相符合［5］。实践研究中，考虑到拍卖与投标环节涉及较多因素，相关数学模型应作出调整，坚持具体问题具体分析原则，通过更新理念，对经济活动中的理论关系进行分析，在此基础上，构建科学合理的解决方案，确保建模分析可靠性，由此，将金融学知识与数学建模有机结合起来。
三、结论
综上所述，通过柯布道格拉斯生产函数，研究了劳动力与资本在企业生产中的贡献率，并且对相关参数进行合理配比，达到经济效益最大化生产目标。同时，构建了资金最优使用模型，研究企业资金利用情况，提出针对性意见，加强流动资金管理。针对目前金融经济活动中存在的风险管理问题，构建了投资风险组合优化模型，对市场交易风险进行分析和识别，同时提出有效预防措施，注重维护投资者收益最大化。文章也构建了拍卖投标相关的线性规划模型，对投标经济活动中相关问题进行明确，提出合理化建议，发挥数学理论模型对实践活动的重要指导价值，为培养优秀金融人才奠定基础。
参考文献：
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风险投资实用分析技巧
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作者单位：成都师范学院
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