概率题目汇总
概率题⽬汇总
概率题⽬汇总
球队两强相遇
8只球队，有3个强队，其余都是弱队，随机把它们分成4组⽐赛，每组两个队，问两强相遇的概率是多⼤？
解题思路：
1. ⾸先求出8只球队分成4组的⽅法数：第⼀队有7种，第⼆队有5种，第三队有3种，第四队就剩下1种，所以总数为 7 × 5 × 3 × 1 = 105 种。
2. 没有两强相遇的⽅法数：在5个弱队中选出3个与强队配对，总数为 C(5,3) × A(3,3) = 60 种。
3. 两强不相遇的概率为：(105-60)/105 = 3/7。
商品房认购书蚂蚁碰头
三只蚂蚁从正三⾓形的三个顶点沿着边移动，速度是相同的，问它们碰头的概率是多少？
解题思路：
如果3只蚂蚁⽅向都相同，⼀定不会相遇，所以3只蚂蚁⽅向⼀定有不同。
3
每只蚂蚁⽅向数有2种，⼀共3只蚂蚁，⼀共有 2 = 8 种⽅向排列。
其中，只有完全顺时针和完全逆时针这2种情况下不相遇，所以相遇的概率为：
(8-2) / 8 = 0.75
男⼥⽐例
某地区重男轻⼥，⼀个家庭如果⽣出⼀个⼥孩就⼀直⽣，直到⽣出男孩就停⽌⽣育。假设⼀胎只出⽣⼀个孩⼦，问时间⾜够长后，男⼥⽐例是会变为多少？经济学类专业
解题思路：
假设这个地区⼀共有n个家庭：
n/2 的家庭第⼀胎就⽣出男孩，所以只有1个孩⼦。
n/4 的家庭先⽣1⼥孩，再⽣1男孩，有2个孩⼦。
n/8 的家庭先⽣2⼥孩，再⽣1男孩，有3个孩⼦。
…
所以孩⼦总数为：
n/2 + (n/4)×2 + (n/8)×3 + (n/16)×4 + … + n/2^n×n = 2 × n
(求解过程：两边同乘2，再错位相减。)
因为每个家庭都会有⼀个男孩，所以男孩有n个，则⼥孩数为 2n-n = n 个
所以⽐例为 1：1
随机函数张翰郑爽最新图片
给定⼀个等概率随机产⽣1-5的随机函数，除此之外，不能使⽤任何额外的随机机制，请实现等概率随机产⽣1-7的随机函数。
解题思路：
1. 等概率随机函数产⽣ 1、2、3、4、5
生物必修一知识点2. 将上述结果-1，将得到 f() ，其结果为0、1、2、3、4
3. f() × 5 的结果为0、5、10、15、20
4. f() × 5 + f() 的结果为0、1、2、3、4、5 (24)
5. 如果步骤4的结果⼤于20，则重复步骤4，直到结果在0-20之间
6. 步骤5的结果将等概率随机产⽣0-20，所以步骤5的结果**%7**之后就可以等概率产⽣0-6
7. 再将步骤6的结果+1即可
等概率产⽣0和1
给定⼀个以p概率产⽣0，以1-p概率产⽣1的随机函数f()，p是固定的值，但你并不知道是多少。除此之外也不能使⽤任何额外的随机机制，请⽤f()实现等概率随机产⽣0和1的随机函数。
解题思路：
1999年发生了什么重大事件
产⽣01和10序列的概率都为 P × (1-P)，所以不断调⽤f，直到产⽣的结果为01或10。如果产⽣了01，就返回0；如果产⽣了10，就返回1。
出现概率变为k次⽅
假设函数f()等概率随机返回⼀个在[0,1)范围上的浮点数，那么在[0,x)区间上的数出现的概率为x(0<x<=1)。给定⼀个⼤于0的整数k，并且可以使⽤f()函数，请事先⼀个函数依然返回在[0,1)范围上的数，但是在[0,x)区间上的数出现的概率为x的k次⽅。
解题思路：
2
先出将概率x调整⾄x的⽅法：调⽤两次f()，返回较⼤的数即可。
所以，同理，只需要调⽤k次f()，返回较⼤的数即可。
等概率打印
给定⼀个长度为N且没有重复元素的数组arr和⼀个整数M，实现函数等概率随机打印arr中的M个数。
解题思路：
在0 - N-1中随机得到⼀个位置a，打印arr[a]，然后将a和N-1进⾏交换，在从0 - N-2中随机得到⼀个位置b，打印arr[b]，再与队尾交换，… ，直到打印了M个数。
概率动态变化-蓄⽔池抽样算法
原题：
有⼀个机器按⾃然数序列的⽅式吐出球，1号球，2号球，3号球等等。你有⼀个袋⼦，袋⼦⾥最多只能装下K个球，并且除袋⼦以外，你没有更多的空间，⼀个球⼀旦扔掉，就再也不可拿回。设计⼀种选择⽅式，使得当机器吐出第N号球的时候，你袋⼦中的球数是K个，同时可以保证从1号球到N号球中的每⼀个，被选进袋⼦的概率都是k/N。
改编题：
有⼀个只能装下10个球的袋⼦，当吐出100个球时，袋⼦⾥有10个球，并且1-100号中的每⼀个球被选中的概率都是10/100。然后继续吐球，当吐出1000个球时，袋⼦⾥有10个球，并且1-1000号中的每⼀个球被选中的概率都是10/1000。继续吐球，当吐出 i 个球时，袋⼦⾥有10个球，并且1-i 号中的每⼀个球被选中的概率都是10/i。也就是随着N的变化，1-N号球被选中的概率动态变化成k/N。
解题思路—蓄⽔池抽样算法：
1. 处理1-k号球时，直接放进袋⼦⾥。
2. 处理第 i 号球时，以 k/i 的概率决定是否将第 i 号球放进袋⼦中。如果不决定将第 i 号球放进袋⼦，直接扔掉第 i 号球。如果决定将第 i 号球放进
袋⼦，那么就从袋⼦⾥的k个球中随机扔掉⼀个，然后把第 i 号球放⼊袋⼦。
证明：
1. 假设第 i 号球被选中并且 1<=i<=k，那么在选第 k+1 号球之前，第 i 号球留在袋⼦中的概率是1。在选第 k+1 号球时，在什么样的情况下第 i 号
球会被淘汰，只有决定将第 k+1 号球放进袋⼦，同时在袋⼦中的第 i 号球被随机选中并决定扔掉，这两个时间同时发⽣时第 i 号球才会被淘汰。
也就是说，第 i 号球会被淘汰的概率是 ( k / (k+1) ) × (1/k) = 1/(k+1)。所以第 i 号球留下来的概率为 1 - 1/(k+1) = k/(k+1)。这是1到k+1号球中第 i 号球被留下来的概率。
2. 在选第 k+2 号球时，什么时候第 i 号球会淘汰呢，只有把 k+2 号球放进袋⼦，同时在袋⼦中的第 i 号球被随机选中并决定扔掉，两件事同时发⽣
时第 i 号球才能被淘汰。
所以，第 i 号球会被淘汰的概率是 ( k / (k+2) ) × (1/k) = 1/(k+2)。所以第 i 号球留下来的概率为 1 - 1/(k+2) = (k+1)/(k+2)。那么，从1到k+2号球中第 i 号球被留下来的概率为：k/(k+1) × (k+1)/(k+2)。
3. 以此类推，在选第 N 号球时，第 i 号球最终留在袋⼦⾥的概率为：
k/(k+1) × (k+1)/(k+2) × (k+2)/(k+3) × (k+3)/(k+4) × … × (N-1)/N = k/N
4. 同样推理，假设第 i 号球被选中并且 k<i<=N，那么在选第 i 号球之前，第 i 号球进⼊袋⼦中的概率是 k/i。在选第 i+1 号球时，在什么样的情况下
第 i 号球会被淘汰，只有决定将第 i+1 号球放进袋⼦，同时在袋⼦中的第 i 号球被随机选中并决定扔掉，这两个时间同时发⽣时第 i 号球才会被淘汰。
那么，第 i 号球会被淘汰的概率是 ( k / (i+1) ) × (1/k) = 1/(i+1)。所以第 i 号球留下来的概率为 1 - 1/(i+1) = i/(i+1)。所以，从第 i 号球被选中到第 i+1 号球的过程中，第 i 号球留在袋中的概率是 k/i × i/(i+1)。
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所以，在选第 N 号球时，第 i 号球最终留在袋⼦⾥的概率为：
k/i × i/(i+1) × (i+1)/(i+2) × … × (N-1)/N = k/N

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