广东省广州大学附属中学、铁一中学、广州外国语中学2024届
高一数学第二学期期末统考试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知25sin (0)52
π
αα=<<，则tan()4πα-=( )
A ．-3
B ．1
3
-
C ．
13
D ．3
2．函数3
21
x y x -
=-的图象与函数22 554
()x y cos x π=-≤≤的图象交点的个数为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3．在ABC ∆中，1AB =，设向量AC 与CB 的夹角为α，若3
cos 2
α=-，则AC 的取值范围是（ ） A ．(0,2]
B ．(0,2)
C ．30,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
D ．(1,2]
4．若过点()2,M m -，(),4N m 的直线与直线50x y -+=平行，则m 的值为（ ） A ．1
B ．4
C ．1或3
D ．1或4
5．若a ，b 是方程2
0(0,0)x px q p q -+=<>的两个根，且a ，b ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值为( ) A ．-4
B ．-3
C ．-2
D ．-1
6．已知数列{}n a 是等差数列，71320a a +=，则91011a a a ++= ( ) A ．36
B ．30
C ．24
D ．1
7．数列{}n a 满足()1121n
n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前60项和等于（ ） A ．1830
B ．1832
C ．1834
D ．1836
8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,2sin sin a A C ==. 若B 为钝
角，1
cos 24
C =-，则ABC ∆的面积为( ) A ．10
B ．15
C ．25
D ．5
9．某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为（ ） A ．193
B ．192
C ．191
D ．190
10．已知正实数,x y 满足3x y +=，则
41
x y
+的最小值（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．
103
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 11．不等式
12x
x
->的解集是______． 12．在ABC ∆中，角B 为直角，线段BA 上的点M 满足2BM 2 MA ==，若对于给定的,ACM ABC ∠∆是唯一确定的，则sin ACM ∠=_______．
13．已知0,0a b >>，若直线(21)210a x y -+-=与直线20x by +-=垂直，则
11
a b
+的最小值为_____ 14．已知函数1
()1
x f x x +=-，[2,5]x ∈，则()f x 的最大值是__________． 15．方程
的解集为________.
16．正六棱柱底面边长为10，高为15，则这个正六棱柱的体积是_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知a ∈R ，函数()2
f x x ax =+.
(1)当1a =时，解不等式()22f x x ≥+;
(2)若对[],1x a a ∈--，不等式()2
2
11f x x x ≤+--恒成立，求a 的取值范围.
18．在四棱锥P ABCD -中，23BC BD DC ===2AD AB PD PB ====． （1）若点E 为PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ；
（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值．
19．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，
1,2AD AB ==，,E F 分别是AB ，PD 的中点，PC 与平面ABCD 所成的角的正切
值是
55
；
（1）求证：//AF 平面PCE ； （2）求二面角P EC D --的正切值．
20．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是
6
ECF π
∠=
，点,E F 在直径AB 上，且6
ABC π
∠=
．
（1）若13CE =AE 的长；
（2）设ACE α∠=, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积． 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知(2,1),(0,2),(cos ,sin )A B C αα-. （1）求||OA OB +的值； （2）若OA OC ⊥，求tan2α的值.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
由同角三角函数关系得到余弦、正切，再由两角差的正切公式得到结果. 【题目详解】
已知sin (0)52
π
αα=
<<
，则cos α=,tan 2α=, 则tan 4πα⎛
⎫-=
⎪⎝
⎭tan 11.1tan 3αα-=+ 故答案为C. 【题目点拨】
这个题目考查了三角函数的化简求值，1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用
sin cos α
α
＝tan α可以实现角α的弦切互化；2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 2、D 【解题分析】
通过对两函数的表达式进行化简，变成我们熟悉的函数模型，比如反比例、一次函数、指数、对数及三角函数，看图直接判断 【题目详解】
由 3
12112(1)
x y x x -
==---，221cos (55)42
x x y cos x ππ==+-≤≤作图如下：
共6个交点，所以答案选择D 【题目点拨】
函数图象交点个数问题与函数零点、方程根可以作相应等价，用函数零点及方程根本题不现实，所以我们更多去考虑分别作图象，直接看交点个数. 3、A 【解题分析】
根据向量AC 与CB 的夹角的余弦值，得到6
C π
=，然后利用正弦定理，表示出AC ，广州2a大学
根据B 的范围，得到AC 的范围. 【题目详解】
因为向量AC 与CB 的夹角为α，且3
cos α=， 所以6
C π
πα=-=
，
在ABC ∆中，由正弦定理
sin sin b c
B C
=， 得
sin sin AC AB B
C =，所以2sin AC B =，
因为50,
6
B π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以(]sin 0,1B ∈， 所以(]0,2AC ∈. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查向量的夹角，正弦定理解三角形，求正弦函数的值域，属于简单题. 4、A 【解题分析】
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