线性代数习题及答案
（北京邮电大学出版社 戴斌祥主）编
习题一
（A类）
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n(n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n)(2n 2)…2.
【解】
(1) τ(341782659)=11;
(2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n(n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)=;
(4) τ(13…(2n 1)(2n)(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n(n 1).
2. 求出j，k使9级排列24j157k98为偶排列。
解：由排列为9级排列，所以j,k只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j的逆序为1，5的逆序数为0，k的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j的逆序为0，5的逆序数为1，k的为4，不符合题意.
所以j=3、k=6.
3. 写出4阶行列式中含有因子的项。
解：D4=
由题意有：
故
D4广州2a大学中含的项为：
即为：
4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？
（1）；
解：
因为，
所以该项带正号。
（2）
解：
因为，
所以该项带正号。
5. 用定义计算下列各行列式.
(1)； (2). （3）
【解】(1) D=( 1)τ(2314)4!=24; (2) D=12.
（3）由题意知：
所以
6. 计算下列各行列式.
(1)； (2) ；
(3)； (4) .
【解】(1) ;
(2) ;
7. 证明下列各式.
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ；
(5) .
【证明】(1)
(2)
(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:
从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为
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