2022年上海交通大学强基校测数学试题及参考答案
1.等比数列{}n a ，31-=a ，
87
36=S S ，=∞
→n n S lim （）
A .不存在
B.
3
2 C.3
2-
D.2
-
2.集合{}t A ,2,1=，{}
A a a
B ∈=2
，B A C =，C 中元素和为6，则元素积为（
）
A .1 B.1- C.8
D.8
-3.z y x ,，为正整数，求xz
yz xy z y x ++++2221010的最小值为
.
4.直线14=+y kx 垂直⎩⎨
⎧+=-=t
y t
x 4132（t 为参数），k 值为（
）
A .3
B.3
- C.
3
1 D.3
1-
5.()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
=ωπωx x f ，()⎪⎭
⎫
⎝⎛≤4πf x f 对R x ∈∀恒成立，
则ω的最小值为（）
A .
23
B.1
C.
3
1 D.
3
26.椭圆C ：1442
2
2=+b y x ，B A P ,，在椭圆C 上，AP k ，BP k 为相反数（k 与k -）
，则AB k 与（
）
A .k b ，有关，与P 点无关
B.P 点，k b ，有关
C.k P ，有关，与b 无关
D.b P ，有关，与k 无关7.03cos 3cos 2
=--θρθρ表示（
）
A .一个圆
B.一个圆与一条直线
C.两个圆
D.两条线
8.1===c a b ，2
1=⋅b a ，则()()
c b b a
-+2的最小值为（
）
A .3
3+ B.3
3- C.22+ D.2
2-9.()5
5105
1x a x a a x +++=- ，求()()53112a a a a a +++的值.10.正四面体装水到高度的
2
1
，问倒置后高度至何处.
11.使()()()03cos 3sin 33
3
=-+--+-x k x x x 有唯一解得k 有（
）
A .不存在
B.1个
C.2个
D.无穷多个
12.两个圆柱底面积21S S ，，体积21V V ，，侧面积相等，
2321=V V ，求2
1S S
的值.13.双曲线112
42
2=-y x ，焦点为B A ,，点C 在双曲线上，53cos =∠ACB ，求ABC ∆周长.
14.{}100,21 ，，=A ，{}A x x B ∈=3，{}
A x x C ∈=2，求C
B 中元素的个数.
15.()()()0ln 22122>++-=a x x a ax x f 在⎪⎭⎫
⎝⎛121，中有极大值，则a 的取值范围为（
）
A .()
2,1 B.()
∞+，1 C.()
∞+，2 D.⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1
e
16.☉1O ,☉2O 与kx y =，x 轴正半轴均相切，221=r r ，交点()22，P ，则=k （
）
A .1
B.
3
4
C.
4
3 D.
2广州2a大学
117.偶函数()x f 满足()()()224f x f x f +=+，求()2022f .18.()2
2022sin x x =π实根个数为
.
19.求方程6
cos sin π
=
+x x 的根为.
20.21F F ，为双曲线两焦点（焦点在x 轴），直线AB 经过1F 且与双曲线左右两支交于点
A ,
B ,︒=∠=1202211AF F AB AF ，，求双曲线的离心率.
21.()21--++=x x x x f ，()()01=+x f f 根的个数为（
）
A .1 B.2 C.3 D.0
22.ABC ∆，M 为平面上一点，AC AB AM 4
1
32+=
，=∆∆BCM ABM S S （
）
A .3 B.8
C.
3
8
D.
8
323.已知集合(){
}
Z y Z x y x y x A ∈∈≤+=,,2,2
2
，则A 中元素的个数为（
）
A .4 B.5 C.8 D.9
24.=︒+︒15sin 2215tan （
）
A .3 B.2
C.2
D.1
25.空间中到正方体1111D C B A ABCD -棱11D A ，AB ，1CC 距离相等的点有（
）
A .无数
B.0
C.2
D.3
26.0>>b a ，则b
a b a a -+
++
1
4的最小值为（）
A .3
2 B.
2
103 C.23 D.4
27.多项式()()x g x f ，，问两命题“()x f 是()x g 因式”，“()()x f f 是()()x g g 因式”充分必要条件.
28.等势集合指两个集合间一一对应，下列为等势集合的是（
）
A .[]1,0与{}
10≤≤E E B.[]1,0与{}d c b a ,,,C.()1,0与[]
1,0 D.{}3,21，与与{}
d c b a ,,,29.()()121ln 2
+-+-=x m mx x x f ，对0>∀x ，()0≤x f ，求整数m 的最小值.30.数列{}n a ，22621221=+-==++n n n a a a a a ，，，求
∑=2022
11
i i
a .31.椭圆()319222>=+a y a x ，弦AB 中垂线过⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,5a ，离心率e 的取值范围.
32.椭圆14
22
=+y x 的焦点21F F ，，点P 在03432=-+y x 上，当21PF F ∠最大时，
则
=2
1
PF PF （）
A .
315 B.
53 C.
35 D.
5
1533.ABC ∆中，C B A 93==，=++A C C B B A cos cos cos cos cos cos （
）
A .
4
1 B.4
1-
C.
3
1 D.3
1-
34.8个点将半圆分成9段弧，以10个点（包括2个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（）个.
A .55 B.112 C.156
D.120
35.410=a ，n n n a a a +=+2
1，求⎦
⎤⎢⎣⎡+∑=2022011i i a 的值.
36.()x
x x x f 312+++=的反函数为()x g ，()()
12
2
=x
g 的根有（
）个.
A .1
B.2
C.3
D.4
37.()22
3
5lim
2
=---→x x f x ，()33=f ，()x f 在()()33f ，处切线方程为（
）
A .0
92=++y x B.092=-+y x C.0
92=++-y x D.0
92=-+-y x
参考答案
1.D 解析：∵等比数列{}n a ，31-=a ，8736=S S ，∴871136=--q q ，解得21-=q ，∴()⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2112113n n S ，∴2lim -=∞→n
n S .
2.D
解析：∵{}t A ,2,1=，{}
A a a
B ∈=2
，∴B ∈1，B ∈4，B t ∈2
，
∴C ∈1，C ∈4，C t ∈2
，
若12
=t ，则1=t （舍去）或1-=t ，此时{}1421-=，，，C ，符合题意，
∴C 中的元素的积为()81421-=-⨯⨯⨯，若22
=t ，则2=
t 或2-=t ，此时{}24,2,1，=C 或{}
24,2,1-=，
C ，与已知C 中的元素和为6不符，
若t t =2
，则0=t 或1=t （舍去），此时{}0421，，，=C ，
也与已知C 中的元素和为6不符，若t t ,2,12
≠，则{
}2
421t t C ，，，，=，则64212
=++++t
t ，
即012=++t t ，方程无解，综上，C 中元素积为8-.3.解：引入参数k 值，使之满足
()()
2
10210101022
222
2
2
2
2
2
z y k z z k ky kx z y x +
-++-++=++()()xz yz k kxy +⋅-+≥1022，
依据取等号的条件，有()t k k =-=
1022，整理得4=t ，
故xz
yz xy z y x ++++2
221010的最小值为4.
4.B
解析：⎩⎨
⎧+=-=t
y t
x 4132（t 为参数），消去参数t 可得，01134=-+y x ，
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