7.1 数学物理方程的导出
1．混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”，放热速率正比于当时尚储存的水花热密度Q ，即
Q dt
dQ
β-=，试推导浇灌后的混凝土内热传导方程。 解：设浇灌后的混凝土中在初始时刻储存的水化热密度为，则在t 时刻它所储存的水化热密度为：
⎰⎰
-=t Q
Q dt Q
dQ
00
β t e Q Q Q t Q ββ-=⇒+-=00ln ln
所以在t 时刻它的放热速率为
t e Q dt
dQ
ββ--=0 存在热源分布于物质之中在单位时间内于单位体积中放出的热量即为t e Q ββ--0，热传导方程为：
t z y x t e Q ku z
ku y ku x Cu ββρ-+∂∂
+∂∂+∂∂=0)]()()([
即得：
t z y x t e Q ku z
ku y ku x u C ββρ-=∂∂
+∂∂+∂∂-0)]()()([
7.2 定解条件
2．长为l 的均匀杆两端受拉力0F 的作用而纵振动，写出边界条件。
解：杆的两端所受的拉力0F 等于这两端面所受的杨氏弹性力：
00
F x
u ES n
u ES x x -=∂∂-=∂∂==，
∴ 00
F x
u ES
x =∂∂=，
0F x
u ES
n
u ES l
x l
x =∂∂=∂∂==
即得：000
F ESu F ESu l
x x x x
====，
3．长为l 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为0q ，写出这个热传导问题的边界条件。
解：在边界上有n q n
u K
=∂∂-∑
，
在l x =端，q q x u K
n
u K n l
x l
x -==∂∂-=∂∂-==，
即：
0q x
u K
l
x =∂∂=
在0=x 端，q q x u K
n
u K n x x -==∂∂=∂∂-==0
0，
即：
00
q x
u K
x -=∂∂=
得：000
q Ku q Ku l
x x
x x
==-==，
4．写出静电场中电介质表面的衔接条件。
解：在电介质表面，电势是连续的
00+-=x x u u ⅡⅠ
又点位移法向分量连续
2211E E D εε==
即：
2
1
+-∂∂=∂∂x x x
u x
u Ⅱ
Ⅰεε
7.3 数学物理方程的分类
5．将数理方程022*******=++++++f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx 化为标准形式。
解：①用判别式判断方程类型
⎪⎩⎪⎨⎧<-=->-椭圆型
抛物型双曲型0002211212
22112
122211212a a a a a a a a a ②求方程的特征方程
11
22112
1212a a a a a dx dy -±= ③求方程的特征线，解特征方程即可。 ④将特征线21C C ，换成ηξ，。 ⑤用新系数算出ηξ，的方程
022*******=++++++F Cu u B u B u A u A u A ηξηηξηξξ
⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧==++++=++++=++=+++=++=f
F c C b b a a a B b b a a a B a a a A a a a A a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y
y x x y y x y y x x x y y x x η
ηηηηξξξξξηηηηηξηξηξηξξξξξ212212111
2122121112
221221122
221211122221221111222)(2 ⑥则标准形式分别为：
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
⎪⎩⎪⎨⎧++-++-=+-=+=+++-=+++-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-=⎪⎩⎪⎨⎧++-++-=-=+=]2)()[(1][21][1)(][21
]22)()[(1-1221122112
21222112212112F Cu u B B i u B B A u u i i F Cu u B u B A u F Cu u B u B A u F Cu u B u B A u F Cu u B B u B B A u u βαββααηξξη
ηξηη
ηξξη
βαββααβαηβαξβαηβαξ，椭圆型只有一族实的特征线抛物型，双曲型
8.1 齐次方程的分离变数法
6．求解薄膜的恒定表面浓度扩散问题，薄膜厚度为l ，杂质从两面进入薄膜。由于薄膜周围
的气氛中含有充分的杂质，薄膜表面上的杂质浓度得以保持为恒定的0N ，对于较大的t ，把所得的答案简化。
解：由题意，该问题的定解问题为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧====-0
)0,(),(),0(0002x u N t l u N t u u a u xx t ， 令0N W u +=，
则0N u W -=。代入泛定方程：
⎪⎩
⎪
⎨⎧-====-02)0,(0),0(0
),(0
N
x W t W t l W W a W xx t 经代换后的W 的方程组中，有齐次的边界条件。
令λ-='
'=
'=X
X T a T t T x X t x W 2)()(),(，，
即 ⎩⎨⎧===+''=+'）
（）
广州2a大学（20)()0(0102l X X X X T a T λλ
由（2）式得x B x A x X n n n λλsin cos )(+=。
0)0(=∴=n A X
又0sin 00)(=∴≠=x B l X n λ，，，
22
2l
n πλ=，
x l
n B x X n π
sin
)(∑=∴。 由关于T 的方程（1）式得 t
l a n n n e
C T 2
2
22π-
=，
∑∑∞
=-
∞
===∴1
1sin
),(2
2
22n t
l a n n n n
n x l
n e
B T X t x W ππ
为了确定系数n B ，可以利用初始条件：
01sin
)0,(N l
x
n B x W n n -==∑∞
=π， ]1)1[(2]1[cos 2]cos [2sin )(2000
000--=-=-∙-=-=∴⎰n
l l n n N n n N l
n n l l N d l n N l B π
ππζππζ
ζπ
⎪⎩⎪⎨⎧⋯⋯=+=+-
=)
(0
)2,1,012()12(40为偶数时当为奇数时，当n k k n k N π
l
x
k e
k N t x W t t
l a k πππ)12(sin
])12(4[),(0
)
12(0
2
2
22++-=∴∑∞
=+-
l
x k e k N N W
N t x u t t
l a k πππ)12(sin
1
21
4),(0)12(0
002
2
22++-=+=∑∞
=+-
对于较大的t ，考虑指数因子（当0>t ）：
t
l a k e
2
2
22)12(π+-
，
它随着时间t 的增大而急剧减小，u 的级数解将收敛得很快，t 越大，级数收敛的
越快。当22
18.0a
l t >时，可以只保留0=k 的一项，略去0>k 的项，其误差%1<，故t
很大时，
l
x
e
N N t x u t
l a ππ
πsin
4),(2
2
20
0-
-
=
9.1 特殊函数常微分方程
7．柱坐标
解：利用柱坐标系拉普拉斯算符∆的表达式，可得柱坐标系亥姆霍兹方程的表达式为：
01)(12222
22=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂υυ
ϕυρρυρρρk z
① 以分离变数形式的
)()()(),,(z Z R z ϕρϕρυΦ=
代入表达式①，一步一步分离变数，引进两个常数λ和2v ，不难分解出三个方程：
0=Φ+Φ''λ ② 02=+''Z v Z ③
0)(12
2
222=--++R v k d dR d R d ρ
λρρρ ④ 方程②的本征值和本征函数是：
⎩
⎨
⎧+=Φ⋯⋯==ϕϕϕλm B m A m m sin cos )()
2,1,0(2， 方程③的本征方程为
)2,1,0(sin cos )(⋯⋯=+=v vz B vz A z Z
记22v k -='μ即22v k +'=μ， 于是方程④可写为
0)(122
2
2=-'++R m d dR d R d ρ
μρρρ 用ρu x '=代换以上方程得：
0)1(122
22=-++R x
m dx dR x dx R d
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