数系
数系
  数系通常指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统．
  数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数的观念，产生在史前时期，详情已难于追索，但对数系建立严谨的理论基础，则是19世纪下半期才完成．
一、自然数
  建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法．
  基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数．古希腊人用小石卵记畜的头数或部落的人数．现在使用的英语calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的．中国古代《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映．
  集合的基数具有元素“个数”的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数．由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法（见算术）.
  为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合．随后对某一有限集合计数，就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数．这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论．
皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理，这里“集合”、“含有”、“自然数”“后继”等是不加定义的．
1 1是自然数．
自然数指的是什么2 1不是任何其它自然数的后继． 
3 每个自然数都有一个后继（a的后继记为a）． 
4 a＝b蕴含a＝b． 
5 设S是自然数的一个集合．如果S含有1，且S含有a蕴含S含有a，则S含有任何自然数．
  公理⑤就是熟知的数学归纳法公理．一切自然数集记为{1， 2 ，3 ，…，n …}，简记为N．
  从上述公理出发，可以定义加法和乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律．
二、整数
  在自然数集N之外，再引入新的元素0，－1，－2，－3，…，－n，…．称N中的元素为正整数，称0为零，称－1，－2，－3，…，－n，…为负整数．正整数、零与负整数构成整数系．
  零不仅表示“无”，它在命数法中还个有特殊的意义：表示空位的符号．中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件．印度－阿拉伯命数法中的零来自印度的零（sunya）字，其原意也是“空”或“空白”．
  中国最早引入了负数．《九童算术·方程》中论述的“正负术”，就是整法的加减法．减法运算可看作求解方程a＋x＝b，如果a，b是自然数，则方程未必有自然数解．为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系．
  关于整数系的严格理论，可用下述方法建立．在N×N（即自然数有序对的集）上定义如下
的等价关系：对于自然有序对（a1，b1），（a2，b2），如果a1＋b2＝a2＋b1，就说（a1，b1）～（a2，b2），N×N，关于上述等价关系的等价类，称为整数．一切整数的集记为Z．
三、有理数
  古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各种运算．分数的使用是由于除法运算的需要．除法运算可以看作求解方程px＝q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解．为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系．
关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立．在Z×（Z-{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设p1，p2∈Z，
q1，q2 ∈Z - {0}，如果p1q2＝p2q1，则称（p1，q2）～（p2，q1）．Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数．（p，q）所在的有理数，记为．一切有理数所成之集记为Q．令整数p对应于，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中．因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系．
四、引起数学危机的无理数
  无理数，顾名思义，与有理数相对．那么它就是不能表示为整数或两整数之比的实数，比如，，，π等等．如果不作数学计算，在实际生活中，我们是不会碰到这些数的，无论是度量长度，重量，还是计时．
  第一个被发现的无理数是，当时，毕达哥拉斯学派的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1∶X＝X∶2，那么X叫1和2的比例中项），怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为X，于是X2＝12＋12．他想，X代表对角线长，而X2＝2，那么X必定是确定的数．但它是整数还是分数呢？显然，2是12和22之间的数，因而X应是1和2之间的数，因而不是整数．那么X会不会是分数呢？毕达哥拉斯学派用归谬法证明了，这个数不是有理数，它就是无理数．无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事保密，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了．但是，人们很快发现了，，等更多的无理数，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实．
  无理数的发现，是毕氏学派最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑．
五、无理数
  公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希帕索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数）这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭．这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位．希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处．
  毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”．而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”．于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了．不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽．
  不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数．15世纪意大利著名画家达·芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国
天文学家开普勒称之为“不可名状”的数．
  然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”．人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．

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