1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷一）
一．(本题满分15分，每小题5分)
(1) 求幂级数1(3)3
n
n
n x n ∞
=-⋅∑的收敛域. 解：因1
1
(3)1(1)3lim lim 33,(3)3(1)33n n n n n n
x n n x x x n n ++→∞→∞-+⋅=-=--+⋅故131063
x x -<<<；即时，
幂级数收敛.
数……3分 当0x =时，原级数成为交错级数11
(1)n
n n
∞
=-∑，是收敛的. ……4分 当6x =时，原级数成为调和级数1
1
n n ∞
=∑，是发散的.
…
…5分
所以，所求的收敛域为[)0,6.
(2) 已知f(x)= e
2
x ,f []()x ϕ=1-x，且 ϕ(x)≥0.求 ϕ(x)并写出它的定义域.
解：由2
[()]1x e x ϕ=-，得
()x ϕ=.
……3分 由ln(1)0x -≥，得11x -≥即0x ≤.
……5分
所以()x ϕ=，其定义域为(,0).-∞
(3)设S 为曲面1222=++z y x 的外侧，计算曲面积分⎰⎰++=s
dxdy z dxdx y dydz x I 3
33. 解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有
2223()I x y z dv Ω
=++⎰⎰⎰（其中Ω是由S 所围成的区域）
……2分 21
220
3d sin d r r dr ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰
……4分 125
π=
.
……5分
二、填空题：(本题满分12分，每小题3分) (1) 若f(t)=∞
→x lim t tx x
2)11(+，则()f t '=2(21)t t e +
(2) 设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(]1,1-上的定f(x)= {
1,210,3≤<-≤<x x x ，则f(x)的付立叶级
数在x=1处收敛于
23
.
(3) 设f(x)是连续函数，且
⎰
-=1
3,)(x x dt t f 则f(7)=
112
.
(4) 设4*4矩阵A=),(4,3,2γγγα，B=),(4,3,2γγγβ，其中，4,32,,,γγγβα均为4维列向量， 且已知行列式 ,1,4==B A 则行列式B A +=.40
.
三、选择题 ( 本题满分15分，每小题3分)
(1) 若函数y=f(x)有2
1
)(0=
'x f ，则当0→∆x 时，该函x=0x 处的微分dy 是 (B) (A) 与x ∆等价的无穷小 (B) 与x ∆同阶的无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小
(2) 设()y f x =是方程042=+'-''y y y 的一个解，若()0f x >，且0)(0='x f ，则函数
()f x 在点0x (A)
(A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 某个邻域内单调增加
(D) 某个邻域内单调减少
(3) 设有空间区域 22221:R z y x ≤++Ω,;0≥z 及22222:R z y x ≤++Ω,,0,0,0≥≥≥z y x 则 (C)
(A)
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4xdv xdv
(B)
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=12
4ydv ydv
(C) ⎰⎰⎰
⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4zdv zdv
(D) ⎰⎰⎰
⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4xyzdv xyzdv
(4) 若
n
n n x a )
1(1
-∑∞
=在x=-1处收敛，则此级数在x=2处 (B)
(A) 条件收敛
(B) 绝对收敛 (C) 发散
(D) 收敛性不能确定
(5) n 维向量组
12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是 (D)
(A) 有一组不全为0的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k ααα+++≠ . (B) 12,,,s ααα 中任意两个向量都线性无关.
(C) 12,,,s ααα 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.
(D)
12,,,s ααα 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.
四．(本题满分6分)
设)()(x
y
xg y x yf u +=，其中f,g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y ∂∂+∂∂∂.
解：.u x y y y f g g x y x x x ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫
''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……2分 22231.u x y y f g x y y x x ⎛⎫∂⎛⎫
''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭
⎝⎭ ……3分 222.u x
x y y f g x y y y x
x ⎛⎫∂⎛⎫''''=-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ……5分 所以2220u u
x y x x y
∂∂⋅+⋅=∂∂∂.
……6分
五、(本题满分8分)
设函数y=y(x)满足微分方程,223x e y y y =+'-''且图形在点(0，1)处的切线与曲线
12+-=x x y 在该点的切线重合，求函数).(x y y = 解：对应齐次方程的通解为212x x Y C e C e =+.
……2分 设原方程的特解为*,x y Axe = ……3分 得2A =-.
…
…4分 故原方程通解为2212()2x x x y x C e C e xe =+-.
……5分 又已知有公共切线得00|1,|1x x y y =='==-，
……7分 即1212
1,21c c c c +=⎧⎨+=⎩解得121,0c c ==.
……8分
所以2(12).x y x e =-
六、(本题满分9分)
设位于点(0，1)的质点A 对质点M 的引力大小为
2
r k
(k>0为常数，r 为质点A 与M 之间的距离—)，质点M 沿曲线22x x y -=自B(2,0)运动到O(0，0).求在此运动过程中质点A 对质M 点的引力所做的功.
解：{0,1}MA x y =--
……2分
r =
因引力f
的方向与MA 一致，
故3
{,1}k f x y r =--
. ……4分
从而 3[(1)]BO k
W xdx y dy r
=
-+-⎰ ……6分
(1k =⋅. ……9分
七、(本题满分6分)
已知PB AP =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112012001,100000001P B 求A 及5
A .
解：先求出1100210411P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
. ……2分
因PB AP =，故1
100100100210000210211001411A PBP -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪==-- ⎪⎪⎪
⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 100100100200210200201411611⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. ……4分
从而555111
511A AAAAA PBP PBP PBP PB P PBP A -----==
=
个个（）()()==. ……6分
八、(本题满分8分)
已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似，
(1) 求x 与y ； (2) 求一个满足B AP P =-1
的可逆矩阵P .
解：(1) 因A 与B 相似，故||||λλ-=-E A E B ，即
……1分
2
002
0001000
10
1
y
x λλλλλλ---=
---+，
亦即22(2)(1)(2)((1))x y y λλλλλλ---=-+--.
比较两边的系数得0,1x y ==.此时200001010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，200010001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
. ……3分 (2) 从B 可以看出A 的特征值2,1,1λ=-. ……4分 对2λ=，可求得A 的特征向量为1100p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对1λ=，可求得A 的特征向量为2011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对1λ=-，可求得A 的特征向量为3011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
. ……7分
因上述123,,p p p 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关. 令123100(,,)011011p p p ⎛⎫ ⎪== ⎪
⎪-⎝⎭
P ，则P 可逆，且有B AP P =-1
.
……8分
九、(本题满分9分)
设函数)(x f 在区间[]b a ，上连续，且在),(b a 内有0)(>'x f .证明：在),(b a 内存在唯一的ξ，使曲线)(x f y =与两直线a x y ==),(ξ所围平面图形面积1s 是曲线)(x f y =与两直线a x y ==),(ξ所围平面图形面积2s 的3倍.
证：存在性 在[,]a b 上任取一点t ，令
⎰⎰---=b
t
t a
dx t f x f dx x f t f t F )]()([3)]()([)(
()()()3()()()t b
a t f t t a f t dx f x dx f t
b t ⎡⎤⎡⎤=-----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰…3分 则()F t 在[,]a b 上连续.
又因0)(>'x f ，故()f x 在[,]a b 上是单调增加的. 于是在(,)a b 内取定点c ，有
()3[()()]3[()()]3[()()]b
c
b
a
a
c
F a f x f a dx f x f a dx f x f a dx =--=----⎰⎰⎰
[]113[()()]3()()()0,
b
c
f x f a dx f f a b c c b ξξ≤--=---<≤≤⎰
..
()[()()][()()][()()]b
c
b
a
a
c
F b f b f x dx f b f x dx f b f x dx =-=-+-⎰⎰⎰
[()()]c
a
f b f x dx ≥-⎰[]22()()()0,
f b f c a a c ξξ=-->≤≤.
……5分 所以由介值定理知，在(,)a b 内存在ξ，使0)(=ξF ，即.321S S =
……6分 唯一性 因()()[()3()]0F t f t t a b t ''=-+->，
…
…8分 故)(t F 在(,)a b 内是单调增加的.因此，在(,)a b 内只有一个ξ, 使.321S S =
……9分
十、填空题(共6分，每个2分)
(1) 设三次独立实验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率等于27
19，则事件A 在一次试验中出现的概率为
13
.
(2) 在区间)1,0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于
56
”的概率为1725
.
(3) 设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知)(x Φ=
du e u x 2
221-∞
-⎰
π
，
9938.0)5.2(=Φ，则X 落在区间(9.95，10.05)内的概率为
0.9876
.
十一、(本题满分6分)
设随机变量X 的概率密度函数为)
1(1
)(2
x x f x +=π，求随机变量31X Y -=的概率密度函数)(y f Y .
解：因Y 的分布函数
()()Y F y P Y y =<
……1分
3{1}1}{(1)}P y P y P X y ==>-=>-
……2分
333(1)(1)
211arctan ar (ctan(11))2y y dx x y x ππππ+∞
+∞
--⎡⎤===--⎢⎥+⎣⎦⎛⎜⎠. ……4分 故Y 的概率密度函数为)(y f Y 3
6
3(1)()1(1)
Y d y F y dy y π-==+-. ……6分
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