2012年考研数学二真题及答案
2012年考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)．
(1)． 设其中可导,且,则＿＿＿＿＿＿.
(2)． 函数在上的最大值为＿＿＿＿＿＿.
(3)．＿＿＿＿＿＿.
(4)．＿＿＿＿＿＿.
(5)． 由曲线与直线所围成的图形的面积＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)．
(1)． 当时, 是的                                            (  )．
(A)． 低阶无穷小                        (B)． 高阶无穷小
(C)． 等价无穷小                        (D)． 同阶但非等价的无穷小
(2)． 设,则                                            (  )．
(A)．           (B)．
(C)．               (D)．
(3)． 当时,函数的极限                                      (  )．
(A)． 等于2                            (B)． 等于0
(C)． 为                              (D)． 不存在但不为
(4)． 设连续, ,则等于                            (  )．
(A)．                             (B)．
(C)．                           (D)．
(5)． 若的导函数是,则有一个原函数为                        (  )．
(A)．                           (B)．
(C)．                           (D)．
三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)．
(1)． 求.
(2)． 设函数由方程所确定,求的值.
(3)． 求.
(4)． 求.
(5)． 求微分方程的通解.
四、(本题满分9分)．
设,求考研满分多少.
五、(本题满分9分)．
求微分方程的通解.
六、(本题满分9分)．
计算曲线上相应于的一段弧的长度.
七、(本题满分9分)．
求曲线的一条切线,使该曲线与切线及直线所围成的平面图形面积最小.
八、(本题满分9分)．
已知,试证：对任意的二正数和,恒有
成立.
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)．
(1)．【答案】：
(2)．【答案】：
(3)．【答案】：
(4)．【答案】：
(5)．【答案】：
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)．
(1)．【答案】：(B)．
(2)．【答案】：(D)．
(3)．【答案】：(D)．
(4)．【答案】：(C)．
(5)．【答案】：(B)．
(3)．【答案】：    其中为任意常数.
方法1：积分的凑分法结合分项法,有
(4)．【答案】：
(5)．【答案】：,其中为任意常数
四、(本题满分9分)．
分段函数的积分应
六、(本题满分9分)．
由于,
,
所以           
.
七、(本题满分9分)．
过曲线上已知点的切线方程为,其中当存在时, .
如图所示,设曲线上一点处的切线方程为
,
化简即得      .
面积        ,
其一阶导数  .
令解得唯一驻点,而且在此由负变正,即在单调递减,在单调递增,在此过程中在时取极小值也是最小值,所以将代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为.
八、(本题满分9分)．
证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设,要证的不等式是
.
在上用中值定理,有  ,
在上用中值定理,又有  ,
由所以单调减,而,有,所以
,
即    .
证法二：用函数不等式来证明.
要证          .
令辅助函数,则.
由单调减, ,由此,
.
改为即得证.

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