1992年考研数学二试卷及答案
1992年考研数学二试卷及答案
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设其中可导,且,则＿＿＿＿＿＿.
(2) 函数在上的最大值为＿＿＿＿＿＿.
(3) ＿＿＿＿＿＿.
(4) ＿＿＿＿＿＿.考研满分多少
(5) 由曲线与直线所围成的图形的面积＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 当时,是的                                            (  )
(A) 低阶无穷小                        (B) 高阶无穷小
(C) 等价无穷小                        (D) 同阶但非等价的无穷小
(2) 设,则                                            (  )
(A)           (B)
(C)               (D)
(3) 当时,函数的极限                                      (  )
(A) 等于2                            (B) 等于0
(C) 为                              (D) 不存在但不为
(4) 设连续,,则等于                            (  )
(A)                             (B)
(C)                           (D)
(5) 若的导函数是,则有一个原函数为                        (  )
(A)                           (B)
(C)                           (D)
三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)
(1) 求.
(2) 设函数由方程所确定,求的值.
(3) 求.
(4) 求.
(5) 求微分方程的通解.
四、(本题满分9分)
设,求.
五、(本题满分9分)
求微分方程的通解.
六、(本题满分9分)
计算曲线上相应于的一段弧的长度.
七、(本题满分9分)
求曲线的一条切线,使该曲线与切线及直线所围成的平面图形面积最小.
八、(本题满分9分)
已知,试证：对任意的二正数和,恒有
成立.
1992年全国硕士研究生入学统一考题数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
(2)【答案】
(3)【答案】
(4)【答案】
(5)【答案】
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(B)
(2)【答案】(D)
(3)【答案】(D)
(4)【答案】(C)
(5)【答案】(B)
(3)【答案】    其中为任意常数.
方法1：积分的凑分法结合分项法,有
(4)【答案】
(5)【答案】,其中为任意常数
四、(本题满分9分)
分段函数的积分应
六、(本题满分9分)
由于,
,
所以           
.
七、(本题满分9分)
过曲线上已知点的切线方程为,其中当存在时,.
如图所示,设曲线上一点处的切线方程为
,
化简即得      .
面积        ,
其一阶导数  .
令解得唯一驻点,而且在此由负变正,即在单调递减,在单调递增,在此过程中在时取极小值也是最小值,所以将代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为.
八、(本题满分9分)
证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设,要证的不等式是
.
在上用中值定理,有  ,
在上用中值定理,又有  ,
由所以单调减,而,有,所以
,
即    .
证法二：用函数不等式来证明.
要证          .
令辅助函数,则.
由单调减,,由此,
.
改为即得证.

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