1998年全国硕士研究生入学统一考试
经济数学四试题详解及评析
一、 填空题
（1）设曲线()n
f x x =在点()1,1处的切线与x 轴的交点为(),0,n ξ则()lim n n f
ξ→∞
=_______.
【答】 1
e − 【详解】 因为
()()1,,1
n df x df x nx n x dx dx −===
故过()1,1的切线方程为()11.y n x −=− 当0y =时，得
11,n x n
ξ==−
因此 ()1
1lim lim 1.n
n n n e n ξ−→∞→∞
⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠
（2） 2ln 1
x dx x −=∫___________
【答】 ln x
C x
−+
【详解】
()()()2ln 1111ln 1ln 1ln 1x dx x d x d x x x x x −⎛⎞
=−−=−−+−⎜⎟⎝⎠
∫∫∫ 2ln 11ln 11x x dx C x x x x x x =−
++=−+−+∫ ln .x C x
=−+
（3） 设矩阵,A B 满足28∗−A BA =BA E ，其中100020,001⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A E 为单位矩阵，∗
A 为
A 的伴随矩阵，则
B =________________
【答】 200040002⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦
【详解1】 将已知矩阵方程组两边分别左乘A ，右乘1
−A 得
()()()11128,∗−−−−A A BA A =A BA A A E A
化简有
28=−A B AB E.
又 2,=−A
因此 ()4=A +E B E. 于是
()1
122044010002−−⎡⎤
⎢⎥==−⎢⎥⎢⎥⎣⎦B E A+E
1
02002 40
10040.1002002⎡⎤⎢⎥
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
【详解2】
对28∗
−A BA =BA E 两边分别左乘A ，分别右乘1
−A ，利用∗
=AA A E 以及
1−=AA E 得
28=−A B AB E.
因此，()
1
82.−=−B A A E
而
()1
2242422,2241442
18284.2
4314−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=−−−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
A A E
B 【详解3】 由已知矩阵方程得
()28∗
−=E A BA E
两边分别左乘(
)
1
2−∗−E A
，右乘1
−A 得
()
()()1
1
1
1
828282−−−∗−∗
∗⎡⎤=−⋅=−=−⎣⎦B E A
A A E A A AA ()()1
1
82822−−=−=+A A E A E
()12184.2
2−⎡⎤
⎢⎥=⋅+=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A E （4） 设A,
B 均为n 阶矩阵,2,3,==−A B 则*
1
2−=A B
_____________
【答】 21
23
n −−
【详解】 由于 *
1
,−=A A A 故
*11111224−−−−−==i A B A A B A B
21
1124.3
n n
−==−i A B
（5） 设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p =_____时，成功次数的标准差的值最大，其最大值= . 【答】
1
,52
【详解】 设X 表示100次独立重复试验成功的次数，则X 服从二项分布(100,)B p ,
均值()100,E X p =
=
由于()D X
同时具有最大值，而()100(1)D X p p =− 显然 在1
2
p =时，取最大值, 故12
p =
时
, 最大，且最大值为5.
二、选择题
（1） 设周期函数()f x 在(),−∞+∞内可导，周期为4.又()()
011lim
1,2x f f x x
→−−=−则曲线()y f x =在点()()5,5f 处的切线斜率为
()
()()()1
. 0. 1. 2.2
A B C D −− 【答】 应选()D 【详解】 由已知
()()()()()0
0111111
lim
lim 11,222
x x f f x f f x f x x →→−−−−′===−−
于是()1 2.f ′=−又()()4,f x f x +=两边求导得
()()4,f x f x ′′+=
故()()51 2.f f ==−
即曲线()y f x =在点()()
5,5f 处的切线斜率()5 2.f ′=− （2） 设函数()21lim
,1n
n x
f x x →∞+=+讨论函数()f x 的间断点，其结论为
()A 不存在间断点. ()B 存在间断点1x = ()C 存在间断点0x = ()D 存在间断点1x =−.
【答】 应选()B 【详解】 由于
()20, 1,
1lim
1, 0,11,
1.n
n x x f x x x x x →∞>⎧+⎪
==−=⎨+⎪+<⎩
可见1x =为()f x 的间断点.
(3) 若向量组,,αβγ线性无关; ,,αβδ线性相关，则
(A) α必可由,,βγδ线性表示, (B) β必不可由,,αγδ先行表示
(C)
δ必可由,,αβγ线性表示 (D) δ必不可由,,αβγ线性表示
【答】 应选()C
【详解】 由题设,,αβγ线性无关，因此,αβ也线性无关,
而题设,,αβδ线性相关，故δ必可由,αβ线性表示，且表示方法唯一, 从而δ也可由,,αβγ线性表示.
(4) 设,,A B C 是三个相互独立的随机事件，且0()1,P C <<；则在下列给定的四对事件中不相互独立的是
(A)
A B +与C (B) AC 与C (C) A B −与C (D) AB 与C 【答】 应选()B
【详解】 由于,,A B C 是三个相互独立的随机事件，故其中任意两个事件的和，差，交，并，逆与另一个事件或其逆是相互独立的，根据这一性质(A),(C),(D)三项中的两事件是相互独立的，因而均为干扰项，只有选项B 正确.
（5） 设()()12F x F x 与分别为随机变量12X X 与的分布函数.为使
()()()12F x aF x bF x =+是某以随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
()()()()3222
,. ,.5533
1213
,. ,.
2322
A a b
B a b
考研满分多少C a b
D a b =
=−===−===−
【答】 应选()A
【详解】 根据分布函数的性质：()lim 1,x f x →+∞
=因此有
()()()12lim lim lim ,x x x F x a F x b F x →+∞
→+∞
→+∞
=−即1.a b =−
对比四个选项知，只有()A 中的a b 和值满足 1.a b −=
三、(本题满分6分)
求21
lim(tan )n n n n
→∞(n 为自然数). 【详解1】 因为
3
tan 1tan 200tan tan lim ()lim[(1)]x x
x
x x x x x x x x x x x
++−−→→−=+
其中 23200tan sec 11lim lim ,33
x x x x x x x →+→+∞−−== 故 1
1
320tan lim ,x x x e x →+
⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
取 1
x n
=，则 原式=1
3e .
【详解2】 因为 11
22
00tan tan lim lim 1x x x x x x x x x →+→+−⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
其中
22322000tan sec 1tan 1
lim lim lim 333
x x x x x x x x x x →+→+∞→+∞−−=== 则 1
1
32
0tan lim ,x x x e x →+
⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
故 原式=13
e .
四、(本题满分6分)
设(
)arctan
22
2,y
x
z x y e
−=+求dz 与2.z
x y
∂∂∂
【详解】
()2arctan arctan 222222y y
x x
z x y xe x y e x x y x −−⎛⎞∂⎛⎞=−+−⎜⎟⎜⎟∂+⎝⎠
⎝⎠ ()arctan
2,y x
x y e
−=+
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