1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设方程y
x y =确定y 是x 的函数，则dy =___________.
(2)设()arcsin x f x dx x C =+⎰，则
1
()
dx f x =⎰
___________..(3)设()00,x y 是抛物线2
y ax bx c =++上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足
的关系是___________.(4)设
1
23222
2
123
11111231111
n n n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,1111B ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,
其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠= .则线性方程组T
A X
B =的解是___________.(5)设由来自正态总体2
~
(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本，得样本均值5X =，则未
知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)累次积分
cos 20
(cos ,sin )d f r r rdr π
θ
θθθ⎰
⎰
可以写成
(
)
(A)1
0(,)dy f x y dx
⎰
(B)1
0(,)dy f x y dx ⎰(C)
1
1
00
(,)dx f x y dy
⎰⎰
(D)
1
(,)dx f x y dy
⎰(2)下述各选项正确的是
(
)
(A)若
21
n
n u
∞
=∑和
21
n
n v
∞
=∑都收敛，则
21
()n
n n u
v ∞
=+∑收敛
(B)
1
n n
n u v
∞
=∑收敛，则
21
n
n u
∞
=∑与
21
n
n v
∞
=∑都收敛
(C)若正项级数
1n n u ∞
=∑发散，则1n u n
≥
(D)若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，且(1,2,)n n u v n ≥= ，则级数
1
n
n v
∞
=∑也收敛
(3)设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *
是矩阵A 的伴随矩阵，则
()
(A)1
考研满分多少()n A A
A -**
=(B)1
()n A A
A +**
=(C)2
()n A A
A
-**
=(D)2
()n A A
A
+**
=(4)设有任意两个n 维向量组1,,m αα 和1,,m ββ ，若存在两组不全为零的数1,,m
λλ 和1,,m k k ，使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-= ，则
(
)
(A)1,,m αα 和1,,m ββ 都线性相关(B)1,,m αα 和1,,m ββ 都线性无关
(C)1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性无关(D)1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性相关
(5)已知0()1P B <<；且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+，则下列选项成立的是(
)(A)()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+(B)()1212()()P A B A B P A B P A B +=+(C)()1212()()P A A P A B P A B +=+(D)()()1122()()()
P B P A P B A P A P B A =+三、(本题满分6分)
设(),0,()0,0,x
g x e x f x x
x -⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩
其中()g x 有二阶连续导数，且(0)1,(0)1g g '==-.
(1)求()f x '；
(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.
四、(本题满分6分)
设函数()z f u =，方程()()x y
u u p t dt ϕ=+
⎰
确定u 是,x y 的函数，其中(),()f u u ϕ可微；()p t ,()u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠.求()
()z z p y p x x y
∂∂+∂∂.五、(本题满分6分)
计算
2
(1)
x
x xe dx e -+∞
-+⎰
.六、(本题满分5分)
设()f x 在区间[0,1]上可微，且满足条件120
(1)2
()f xf x dx =⎰
.试证：存在(0,1)ξ∈使
()()0.
f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)
设某种商品的单价为p 时，售出的商品数量Q 可以表示成a
Q c p b
=
-+，其中a b 、、c 均为正数，且a bc >.
(1)求p 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少.
(2)要使销售额最大，商品单价p 应取何值?最大销售额是多少?
八、(本题满分6分)
求微分方程dy dx =的通解.
九、(本题满分8分)
设矩阵01
01
0000010
012A y ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.(1)已知A 的一个特征值为3，试求y ；(2)求矩阵P ，使()()T
AP AP 为对角矩阵.
十、(本题满分8分)
设向量12,,,t ααα 是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，向量β不是方程组
0AX =的解，即0A β≠.试证明：向量组12,,,,t ββαβαβα+++ 线性无关.
十一、(本题满分7分)
假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故
障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?
十二、(本题满分6分)
考虑一元二次方程2
0x Bx C ++=，其中B C 、分别是将一枚子(骰子)接连掷两次
先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .
十三、(本题满分6分)
假设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)k
k EX a k ==.
证明：当n 充分大时，随机变量2
1
1n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布，并指出其分布参数.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上.)(1)【答案】
()
1ln dx x y +【解析】方法1：方程y
x y =两边取对数得ln ln ln y
x y y y ==，再两边求微分,
()()
11ln 1ln 1dx y dy dy x x y =+⇒=+()()ln 10x y +≠.方法2：把y
x y =变形得ln y y
x e
=，然后两边求微分得
()()()ln ln 1ln 1ln y y y dx e d y y y y dy x y dy ==+=+,
由此可得
()
1
.
1ln dy dx x y =
+
(2)【答案】C
【解析】由()arcsin x f x dx x C =+⎰
，两边求导数有
()
1
()arcsin ()
xf x x x f x '==
=,
于是有
1
()
dx f x ⎰
2
12==⎰⎰()
2
112x =-
-
C =.(3)【答案】
0c a
≥(或2
ax c =),b 任意【解析】对2
y ax bx c =++两边求导得()0022y ax b,y x ax b,''=+=+所以过()00x ,y 的切线方程为()()0002y y ax b x x ,-=+-即
()()()2
00002y ax bx c ax b x x .
-++=+-又题设知切线过原点()00,，把0x y ==代入上式，得
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