2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设，则（ ）
. . . .
（2）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）
跳跃间断点. 可去间断点. 无穷. 振荡.
（3）设是连续奇函数，是连续偶函数，区域
则正确的（ ）
. .
. .
（4）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（ ）
曲边梯形面积. 梯形面积.
曲边三角形面积. 三角形面积.
（5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ）
不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.
可逆，可逆. 可逆，不可逆.
（6）设，则在实数域上与合同的矩阵为（ ）
.
（7）随机变量独立同分布且的分布函数为，则的分布函数为（ ）
. .
. .
（8）随机变量，且相关系数，则（ ）
. .
. .
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数在内连续，则 .
（10）已知函数连续且，则曲线上对应处切线方程为 .
（11）.
（12）微分方程通解是.
（13）设3阶矩阵的特征值互不相同，若行列式，则的秩为.
（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.
三、解答题：15－23小题，共94分.考研满分多少请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分10分）
求极限.
(16) （本题满分10分）
设，，求的极值、单调区间和凹凸区间.
(17)（本题满分10分）
求函数在在约束条件和下的最大和最小值.
(18)（本题满分10分）
设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时，
求(1)
（2）记，求.
(19)（本题满分10分）
是周期为2的连续函数，
（1）证明对任意实数都有
（2）证明是周期为2的周期函数．
（20）（本题满分11分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
（1）求证
（2）为何值，方程组有唯一解
（3）为何值，方程组有无穷多解
(21)（本题满分11分）
设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，
证明（1）线性无关；
（2）令，求.
（22）（本题满分9分）
设随机变量与相互独立，概率分布为，概率密度为，记
（1）求
（2）求的概率密度
（23）（本题满分9分）
设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.
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