1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)设曲线()
n
f x x 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(
,0)n
，则lim (
)
n
n
f .
(2)2
ln 1
x dx x
.
(3)
差分方程1
21050t
t y y t 的通解为
.
(4)
设矩阵,A B 满足*
28A BA
BA E ，其中1
00
0200
1
A
,E 为单位矩阵,*
A 为A
的伴随矩阵，则B .
(5)
设1234,,,X X X X 是来自正态总体
2
0,2
N 的简单随机样本,2
12
2X a X X 2
34
34b X X .则当
a
,
b 时，统计量X 服从
2
分布,
其自由度为
.
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内
.)
(1)设周期函数
f x 在
,
内可导，周期为 4.又0
11lim
1,2x
f f x x
则曲线
y
f x
在
点
5,5
f 处的切线的斜率为
()
(A)12
(B)
(C)
1
(D)
2
(2)
设函数21lim ,1
n
n
x f x
x
讨论函数f x 的间断点，其结论为
(
)
(A)不存在间断点(B)存在间断点
1x (C)存在间断点
x (D)存在间断点
1
x
(3)
齐次线性方程组
2
1
231231
2
3
0,
0,0
x x x x x x x x x 的系数矩阵记为A .若存在三阶矩阵0B 使得
0AB
，则
(
)
(A)2且||0B (B)2且||0B (C)1且||0B (D)
1且||0
B (4)
设
3n n
阶矩阵
1111
a a a a a a A
a a a a
a
a
，
若矩阵A 的秩为1n ，则a 必为
(
)
(A)1(B)
11n
(C)
1
(D)
11
n (5)
设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数.为使12()()
F x aF x bF x 是某一变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
(
)
(A)32,5
5a b (B)22,33a b (C)
13,22
a
b
(D)
13,2
2
a
b
三、(本题满分5分)
设
arctan 2
2
()y
x
z x
y e
，求dz 与
2
z x y
.
四、(本题满分5分)
设2
2
,D
x y x
y
x ，求
D
xdxdy .
五、(本题满分6分)
设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定
0t
)就售出，总收入为0()R 元.如果窖藏
起来待来日按陈酒价格出售
,t 年末总收入为
2
5
0.t
R R e
假定银行的年利率为
r ，并以连续
复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求
0.06r 时的t 值.
六、(本题满分6分)
设函数()f x 在
,a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0.f x 试证存在,(,),a b 使得
().
()
b
a
f e
e
e f b a
七、(本题满分6分)
设有两条抛物线
2
1y nx
n
和2
1(1)1
y
n x
n ，记它们交点的横坐标的绝对值为.
n a (1)
求这两条抛物线所围成的平面图形的面积
n S ；
(2)求级数
1
n n n
S a 的和.
八、(本题满分7分)
设函数()f x 在[1,)上连续.若由曲线(),y f x 直线1,(1)x x t t
与x 轴所围
成的平面图形绕
x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为
2
()
()
(1).
3
V t t f t f 试求()y
f x 所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件
2
2
9
x y
的解.
九、(本题满分9分)
设向量
1212(,,
,),
(,,,)T
T n n a a a b b b 都是非零向量，且满足条件
0.T
记
n 矩阵.T
A
求：
(1)2
A；
(2)矩阵A的特征值和特征向量.考研满分多少
十、(本题满分7分)
设矩阵
101
020,
101
A矩阵2
(),
B kE A其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵
，使B与相似，并求k为何值时,B为正定矩阵.
十一、(本题满分10分)
一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
十二、(本题满分9分)
设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.
(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；
(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
1e
【解析】曲线n
y x 在点(1,1)处的切线斜率1
x y
1
n
x x
1
1
n x n x
n ，根据点斜
式，切线方程为：
1
(1).
y n x 令0y
，代入1(1)y n x ，则11x n ，即在x 轴上的截距为
11
n
n
,
lim ()
n
n
f lim n
n
n
1lim(1)
n
n n 1
1lim(1)
x
x
x
1e
.
(2)【答案】
ln x C
x
【解析】由分部积分公式
,
2
ln 1
x dx x
1ln 1x dx x
1ln 1x d
x
ln 11(ln 1)
x d x x
x
分部
2
ln 11x dx
x x ln 11x dx
x
x ln 11x C
x
x
ln x C x
.
【相关知识点】分部积分公式：假定
()u
u x 与()v v x 均具有连续的导函数
，
则
,uv dx
uv
u vdx 或者.
udv
uv
vdu (3)【答案】51(5)
()
126t
t
y C t
【解析】首先把差分方程改写成标准形式1
552
t
t
y y t ，其齐次方程对应的特征方程及
特征根分别为
50,5,
r r 故齐次方程的通解为
(5),t
t
Y C C 为常数.
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