3－4 二阶系统
用二阶微分方程描述的系统，称二阶系统。它在控制系统中应用极为广泛。例如，网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧－质量－阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。此外，许多高阶系统，在一定条件下，往往可以简化成二阶系统。因此，详细研究和分析二阶系统的特性，具有重要的实际意义。
以图1-7、图2-21所示随动系统为例进行研究。这里把图2-21进一步简化成图3-9(a)。图中，系统闭环传递函数为
（3-9）
为了使研究的结论具有普遍性，将上式写成典型形式或标准形式
或 （3-10）
图3-9(b)为二阶系统的一般结构图形式。式中
；；
可见，二阶系统的响应特性完全可以由阻尼比和自然频率 (或时间常数)两个参数确定。一般形式的闭环特征方程为
方程的特征根(系统闭环极点)为
当阻尼比较小，即时，方程有一对实部为负的共轭复根
系统时间响应具有振荡特性，称为欠阻尼状态。
当时，系统有一对相等的负实根
系统时间响应开始失去振荡特性，或者说，处于振荡与不振荡的临界状态，故称为临界阻尼状态。
当阻尼比较大，即时，系统有两个不相等的负实根
这时系统时间响应具有单调特性，称为过阻尼状态。
当时，系统有一对纯虚根，即，称为无阻尼状态。系统时间响应为等幅振荡，其幅值取决于初始条件，而频率则取决于系统本身的参数。
上述各种情况对应的闭环极点分布及对应的脉冲响应，如图3-10所示。
下面分别研究欠阻尼和过阻尼两种情况的响应及其性能指标。
一、 二阶系统的阶跃响应
1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统中，欠阻尼二阶系统最为常见。由于这种系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈现衰减振荡特性，故又称振荡环节。
当阻尼比时，二阶系统的闭环特征方程有一对共轭复根，即
式中，称为有阻尼振荡角频率，且。
当输入信号为单位阶跃函数时，输出的拉氏变换式由式(3-10)可得
对上式进行拉氏反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应，并用表示，即
（3-11）
式中由图3-11所示。
或
由式(3-11)可见，系统的响应由稳态分量与瞬态分量两部分组成，稳态分量值等于1，瞬态分量是一个随着时间的增长而衰减的振荡过程。振荡角频率为，其值取决于阻尼比及无阻尼自然频率。我们采用无因次时间作为横坐标，这样，时间响应仅仅为阻尼比的函数，如图3-12所示。
由图可见，阻尼比越大，超调量越小，响应的振荡越弱，系统平稳性越好。反之，阻尼比越小，振荡越强烈，平稳性越差。
当时，系统阶跃响应不出现峰值()，单调地趋于稳态值。
当时， ，调节时间最小，，若按5%的误差带考虑，可认为。
当时， 随减小而增大。过渡过程峰值和调节时间也随减小而增大。
当时(即， 表示系统具有一对纯虚根)，方程式(3-11)就成为
（3-12）
显然，这时响应具有频率为的等幅振荡，即无阻尼振荡。
此外，当过大时，系统响应滞缓，调节时间很长，系统快速性差；反之，过小，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间亦长，快速性也差。由图3-12可见，对于5%的误差带，当时，调节时间最短，即快速性最好，这时超调量，故平稳性也是很好的，所以把称为最佳阻尼比。
关于稳态精度：由于随时间的增长，瞬态分量趋于零，而稳态分量恰好与输入量相等，因此稳态时系统是无差的。
欠阻尼二阶系统性能指标的计算如下：
延迟时间①：根据定义，令式(3-11)等于0.5，即=0.5，整理后可得
取为不同值，可以计算出相应的值，然后绘出与的关系曲线，如图3-13所示。利用曲线拟合方法，可得延迟时间的近似表达式
（3-13）
或 (3-14)
上述两式表明，增大或减小，都可以减小延迟时间。或者说，当阻尼比不变时，闭环极点离［s］平面的坐标原点越远，系统的延迟时间越短；而当自然频率不变时，闭环极点离［s］平面的虚轴越近，系统的延迟时间越短。
上升时间：②根据定义，令式（3-11）等于1。即 ，
可得
因为
所以
则有
由图3－11可见
所以
（3-15）
显然，当阻尼比不变时，角也不变。如果无阻尼振荡频率增大，即增大闭环极
点到坐标原点的距离，那么上升时间就会缩短，从而加快了系统的响应速度；阻尼比越小(越大)，上升时间就越短。
峰值时间：将式(3-11)对时间求导并令其为零，可得峰值时间
将上式整理得
则有，， ，， …。根据峰值时间的定义，是指越过稳态值，到达第一个峰值所需要的时间，所以应取。因此峰值时间的计算公式为
或 ntd （3-16）
上式表明，峰值时间等于阻尼振荡周期一半。当阻尼比不变时，极点离实轴的距离越远，系统的峰值时间越短，或者说，极点离坐标原点的距离越远，系统的峰值时间越短。
超调量：将峰值时间式(3-16)代入式(3-11)，得输出量的最大值
由图3-11可知
代入上式，则
根据超调量的定义式，并在条件下，可得
（3-17）
显然，超调量仅与阻尼比有关，与自然频率的大小无关。图3-14表示了超调量与阻尼比的关系曲线。由图可见，阻尼比越大(越小)，超调量越小；反之亦然。或者说，闭环极点越接近虚轴，超调量越大。通常，对于随动系统取阻尼比为，相应的超调量为。
调节时间： 写出调节时间的准确表达式是相当困难的。在初步分析和设计中，经常采用近似方法计算。对于欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
来说，指数曲线是阶跃响应衰减振荡的上下二条包络线，整个响应曲线总是包含在这二条包络线之内，该包络线对称于阶跃响应的稳态分量。在图3-15中，采用无因次时间作横坐标，给出了时的单位阶跃响应以及相应的包络线。可见，实际响应的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此采用包络线代替实际响应曲线来估算调节时间是可靠的。
根据上述分析，当时，经常采用下列近似公式
取5%误差带 (3-18)
或 取2%误差带 (3-19)
上式表明，调节时间与闭环极点的实部数值()成反比，实部数值越大，即极点离虚轴的距离越远，系统的调节时间越短，过渡过程结束得越快。
综上所述，从各动态性能指标的计算公式及有关说明可以看出，各指标之间往往是有矛盾的。如上升时间和超调量，即响应速度和阻尼程度，要求上升时间小，必定使超调量加大，反之亦然。当阻尼比一定时，如果允许加大，则可以减小所有时间指标(、、和)的数值，同时超调量可保持不变。
因此，在实际系统中，往往需要综合全面考虑各方面的因素，然后再作正确的抉择。即所谓“最佳”设计。
【例3-1】 在图3－16所示的随动系统中，当给定系统输入为单位阶跃函数时，试计算当放大器增益时，输出位置响应的性能指标：、和。如果将放大器增益增大到或减小到，那么对响应的动态性能又有什么影响?
解 将图3-16与二阶系统典型结构图形式图3-9(b)进行比较，可得
，
将代入上两式得
，
则系统闭环传递函数为
（3-20）
上式也可直接由图3-16求得。然后，对照标准形式求得、，并把、值代入相应公式(3-16)、(3-18)和(3-17)求得
当时，同样可计算出
则有
可见，增大，使减小而增大，因而使增大，减小，而调节时间则没有多大变化。
当减小到时，经过同样的计算可得到，。系统成为过阻尼二阶系统。峰值和超调量不再存在。而必须按下面将要介绍的过阻尼二阶系统来计算。由响应曲线图3-17可见，上升时间比上面两种情况大得多，虽然响应无超调，但过渡过程过于缓慢，也就是系统跟踪输入很慢，这也是不希望的。
2. 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应 当时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根。可写成
式中
且,，于是闭环传递函数为
因此，过阻尼二阶系统可以看成二个时间常数不同的惯性环节的串联。
当输入信号为单位阶跃函数时，系统的输出为
（3-21）
式中稳态分量为1，瞬态分量为后两项指数项。可以看出，瞬态分量随时间t的增长而衰减到零，故系统在稳态时为无差的。其响应曲线如图3-18所示。
由图3-18看出，响应是非振荡的，但它是由两个惯性环节串联而产生的，所以又不同于一阶系统的单位阶跃响应，其起始阶段速度很小，然后逐渐加大到某一值后又减小，直到趋于零。因此，整个响应曲线有一个拐点。
对于过阻尼二阶系统的性能指标，同样可以用、等来描述。这里着重讨论调节时间，它反映系统响应的快速性。确定的准确表达式同样是很困难的。一般可根据(3-21)式，令为不同值，计算出相应的无因次调节时间。图3-19给出了误差带为5%的调节时间曲线。由图可见：
当， 即的临界阻尼情况，
当，即时，
当，即时，
上述分析说明，当系统的一个负实根比另一个大4倍以上时，即两个惯性环节的时间常数相差4倍以上，则系统可以等效为一阶系统，其调节时间可近似等于 (误差不大于10%)。这也可以由式(3-21)看出，由于，所以项比项衰减快得多，即响应曲线主要取决于大时间常数确定的环节，或者说主要取决于离虚轴较近的极点。这样，过阻尼二阶系统调节时间的计算，实际上只局限于的范围。
当时，就可将系统等效成一阶系统，其传递函数可近似地表示为
这一近似函数形式也可根据下述条件直接得到，即原来的传递函数与近似函数的初始值和最终值，二者对应相等。
对于近似传递函数，其单位阶跃响应的拉氏变换式
时间响应为
上式就是当中，有一个极点可以忽略时的近似的单位阶跃响应。图3-20示出了,时的近似响应函数曲线，在图中还画出了系统过阻尼时的准确响应函数曲线。这时，系统的近似解为
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