姓名______________考生号________________ 座位号________________
2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知均为的子集，且，则（）
A． B．C． D．
2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）
A． B． C． D．
3．关于的方程，有下列四个命题：
甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．
如果只有一个假命题，则该命题是（）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．椭圆的焦点为，上顶点为，若，则（）
A．1 B．C．D．2
5．已知单位向量满足，若向量，则（）
A． B． C． D．
6．的展开式中的系数是（）
A．60 B．80 C．84 D．120
7．已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（）
A． B． C． D．
8．已知且且且，则（）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是偶函数
10．设为复数，．下列命题中正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）
A． B． C． D．
12．设函数，则（）
A． B．的最大值为
C．在单调递增 D．在单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为__________________．
14．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，_____．
15．写出一个最小正周期为2的奇函数________．
16．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，求的通项公式．
18．（12分）
在四边形中，．
（1）若，求；
（2）若，求．
19．（12分）
一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
（1）求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为，求的分布列及数学期望．
20．（12分）
北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，
证明：这类多面体的总曲率是常数．
21．（12分）
双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，．
（1）求的离心率；
（2）若在第一象限，证明：．
22．（12分）
已知函数．
（1）证明：当时，；
（2）若，求．
2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知八省联考均为的子集，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.
【详解】
解法一：,，据此可得.
故选：B.
解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，
矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，
矩形区域CDFG表示集合N，满足，
结合图形可得：.
故选：B.
2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.
【详解】
设三位同学分别为，他们的学号分别为，
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示同学拿到号，同学拿到号，同学拿到号.
三人可能拿到的卡片结果为：，共6种，
其中满足题意的结果有，共3种，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．
(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
3．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】
对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程的两根，进而可得出结论.
【详解】
若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于的方程的一根为，
由于两根之和为，则该方程的另一根为，两根异号，合乎题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则是方程的一根，
由于两根之和为，则另一根也为，两根同号，不合乎题意；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于的方程的两根为和，两根同号，不合乎题意；
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于的方程的两根为和，
两根之和为，不合乎题意.
综上所述，甲命题为假命题.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.
4．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分析出为等边三角形，可得出，进而可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】
在椭圆中，，，，
如下图所示：
因为椭圆的上顶点为点，焦点为、，所以，
，为等边三角形，则，即，
因此，.
故选：C.
5．已知单位向量满足，若向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题借助将代入化简即可.
【详解】
因为是单位向量，所以.
因为，所以.
所以
所以.
故选：B.
6．的展开式中的系数是（ ）
A．60 B．80 C．84 D．120
【答案】D
【分析】
的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可.
【详解】
的展开式中的系数是
因为且，所以，
所以，
以此类推，.
故选：D.
【点睛】
本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用.
7．已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先利用点求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点，即求出直线方程.
【详解】
在抛物线上，故，即，抛物线方程为，
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