2024年湖北省八市高三（3月）联考八省联考
数学参考答案与评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1． C 2． B 3． D 4． D 5． A
6． A
7． C
8． B
第1题提示：{1,2,3,4}A C C ==. 第2题提示：(2)(2,3)(0,1)3a a b ⋅+=-⋅=-.
第3题提示：将1+i 代入方程得：2(1i)2(1i)0a a b +-++=，得20a b -+=，即20a b -=. 第4题提示：易得平面MNP ∥平面AB 1D 1，A 1-AB 1D 1为正三棱锥，得A 1C ⊥平面AB 1D 1，
故A 1C ⊥平面MNP ，若其他选项也符合，则平行于A 1C ，不成立.
第5题提示：
77071612526167077777761(71)177(1)7(1)7(1)7(1)1C C C C C -=--=+⨯-+⨯-++⨯-+⨯--07161252616777777(1)7(1)7(1)2C C C C =+⨯-+⨯-++⨯--.
第6题提示：偶函数的导数为奇函数，可以根据对等式()()f x f x =-两边求导，或通过
图象验证.
第7题提示：设2
A B C π
<<=，由cos 0C =可得1
2cos cos 2sin tan 2
B A A A ==⇒=
. 第8题提示：
易知点O 关于直线l 的对称点为(1,1)A ，求直线AP 的方程:
故k AP =1
k
,
△APB ≌OPB
l AP
:y 1=1k
(x 1)与∠AMB 互余易得1(1,0),(1,0)M k N k
--（或只求1
(1,0)N k '-）
数学参考答案第1页（共8页）
由||MN =得22113(1)(1)36k k -+-=，即有21113()2()36k k k k +-+=，
解得1136k k +=，得23k =或3
2
k =， 若3
2
k =
，则第二次反射后光线不会与y 轴相交，故不符合条件. 其他方法：先求点P 坐标，再求直线AP 的方程；或者设点M 和N '的坐标，通过A ，M ，N '三点共线构造方程求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． ACD 10． ABD 11． AB
说明：多选题有错选得0分，第9、10题选对1个答案给2分，选对2个答案给4分，
选对3个答案给6分；第11题选对1个答案给3分，选对两个答案给6分. 第9题提示：女生不感兴趣的人数约为280，男生不感兴趣的人数约为300，故B 不对， 3.841 3.94 6.635<<，故C ，D 正确.
第10
，2a c ==，其中
一个焦点坐标应为.
第11题提示：由23(())2()0a f x bf x c ++=
得1()f x x =或2()f x x =，依题意可得以下6种情况：
m=2,n=4
当a<0时
m=1,n=3
m n +的取值集合为{4,5,6,8}.
数学参考答案第2页（共8页）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．
1
2
13．(1,0)(0,1) - 14．2 第12题提示：用两角和的正切公式展开，或用整体法两角差的正切公式．
第13题提示：用求和公式后再用立方差公式分解因式或直接用2462(1)S S q q =++． 第14
题提示：2|||1)1|m n m +−−+−=，先设n 为变量，可通过分类讨论求出
{
}{}
2[0,9][0,9]
3,1
max |max 1)1|1,1
n n m m m n m m m ∈∈+− +−−+−= −+<− |≥， 再求出当[3,3]m ∈−时的最小值，即为2．
或者由2||1)1|m n m +−−+−=在[0,9]n ∈时的最大值只可能在当0n =或1n =或9n =处取得，结合图象可得原式的最小值为2．
-1|
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解：
（1）在△ABC 中，由正弦定理可得：
sin sin AB AC
C B
=
=
……2分
解得sin B =
，又0B π<<，故3B π=或23B π=． ……5分
（2）由BC AC >，可得A B >，故3B π=，23
A C π
+=
……6分 2()sin(2)sin(2)sin(2)sin(2)2sin(2)33333
f x x x x x x πππππ
π=--+=--+-=- ……8分
令222232
k x k ≤≤πππ
ππ-+-+，k Z ∈
解得512
12
k x k ≤≤
π
π
ππ-
++，k Z ∈ ……10分 数学参考答案第3页（共8页）
由于[,]x ππ∈-， 取1k =-，得712
x ≤≤ππ--； 取0k =，得512
12
x ≤≤
π
π
-
； 取1k =，得 1112x ≤≤ππ， 故()f x 在[,]ππ-上的单调递增区间为7[,]12ππ--
，5[,]1212
ππ-，11[,]12π
π． ……13分 说明：第（1）问中两种情况少一种扣1分，第（2）问中三个区间少一个扣1分.
16．解：
（1）5s 后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次， …3分 所求概率为：2232
55515(1)()216
C p p C ⨯⨯-=⨯=． ……6分
（2）X 所有可能的取值为2-，0，2，4，且 ……7分
0333(2)(1)(1)P X C p p =-=-=-， ……8分
1
223(0)(1)3(1)P X C p p p p ==-=-， ……9分
2223(2)(1)3(1)P X C p p p p ==-=-，
……10分 3333(4)P X C p p ===， ……11分
由323()2(1)23(1)40E X p p p p =--+⨯-+>，解得1
3
p >
， ……14分 又因为01p <<，故p 的取值范围为1
13
p <<． ……15分
17．解：
（1）连接BD 交AC 与点O ，连接OM ，
易知平面PBD 与平面MAC 的交线为OM ， ∵PB ∥平面MAC ，∴PB ∥OM ， …2分 又∵O 为BD 的中点，∴M 为PD 的中点. …3分 取P A 的中点E ，连接EM ，EN ， ∵12AD EM =∥，12
AD CN =∥，
∴EM CN =∥，∴EMCN 为平行四边形，∴CM EN ∥， ……5分
又∵CM ⊄平面P AN ，EN ⊂平面P AN ，∴CM ∥平面PAN . ……6分
（2）取AB 的中点S ，连结PS ，CS ，∵PA PB ==
，
∴PS AB ⊥，且
2PS =
，又∵SC =
3PC =，
∴2
22PC PS SC =+，∴PS SC ⊥， ……8分
又∵AB ，SC 是平面ABCD 内两条相交的直线，∴PS ⊥平面ABCD . ……9分
数学参考答案第4页（共8页）
以S 为坐标原点，SB
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 S xyz −，易知(1,0,0)A −，(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，(1,2,0)D −，(0,0,2)P ， 由M 为PD 的中点，N 为BC 的中点， 可得1
(,1,1)2
M −，(1,1,0)N ，……10分
(1,0,2)AP = ，(1,1,2)PN =−
，1(,1,1)2AM = ，3(,1,1)2
MC =
− ， ……11分 设111(,,)m x y z =
是平面PAN 的法向量，则 00m AP m PN ⋅=
⋅=
即111112020x z x y z += +−= ，可取(2,4,1)m −− ； ……12分 设222(,,)n x y z =
是平面MAC 的法向量，则
00n AM n MC ⋅= ⋅=
即2
22222302102x y z x y z +−= ++= ，可取(2,2,1)n =− ； ……13分 设平面PAN 与平面MAC 的夹角为θ，
则||cos
||||m n m n θ⋅== 即平面PAN 与平面MAC
. ……15分 说明：第（1）问取AD 的中点，通过面面平行来证明线面平行也可以根据步骤给分. 18．解：
（1）依题意可得211a −=，得22a =， ……1分
由12e e =
2222
12211312b a e e a +−=⋅=，解得22b =， ……3分 故1C 的方程为22
12
y x −
=，2C 的方程为2
212x y +=． ……4分 （2）易知1(1,0)F -，2(1,0)F ，设00(,)P x y ，直线1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，
则0101y k x =
+，0201y k x =-，2
012201
y k k x =-， ……5分 00(,)P x y 在22
1:12y C x −=，即有22
0012
y x −=，
可得2
0122
021
y k k x ==-为定值． ……7分 数学参考答案第5页（共8页）
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