2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练
数学
需要word 文档可联系本作者注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知,M N 均为R 的子集，且R M N ⊆ð，则()
M N ⋃=R ð（）
A.∅
B.M
C.N
D.R
【答案】B 【解析】
【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn 图，结合Venn 图即可确定集合的运算结果.【详解】解法一：R M N ⊆ ð,R M N ∴⊇ð，据此可得
()R M N M ∴= ð.故选：B.
解法二：如图所示，设矩形ABCD 表示全集R ，
矩形区域ABHE 表示集合M ，则矩形区域CDEH 表示集合R M ð，矩形区域CDFG 表示集合N ，满足R M N ⊆ð，结合图形可得：()
R M N M = ð.故选：B.
2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）
A.
16
B.
13
C.
12
D.
23
【答案】C 【解析】
【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.
【详解】设三位同学分别为,,A B C ，他们的学号分别为1,2,3，
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如()1,3,2表示A 同学拿到1号，B 同学拿到3号，C 同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为：()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1，共6种，其中满足题意的结果有()()()1,3,2,2,1,3,3,2,1，共3种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：31
62
p ==.故选：C.【点睛】方法点睛：
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
3.关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：1x =是该方程的根；乙：3x =是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【答案】A 【解析】
【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程20x ax b ++=的两根，进而可得出结论.
【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的一根为3，由于两根之和为2，则该方程的另一根为1-，两根异号，合乎题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则1x =是方程20x ax b ++=的一根，由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3，两根之和为4，不合乎题意.
综上所述，甲命题为假命题.故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分
类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.
4.椭圆()22
22101x y m m m
+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =（
）
A.1
B.
2
C.
3 D.2
【答案】C 【解析】
【分析】分析出12F AF 为等边三角形，可得出2a c =，进而可得出关于m 的等式，即可解得m 的值.
【详解】在椭圆()22
22101x y m m m
+=>+中，21a m =+，b m =，
221c a b =-=，
如下图所示：
因为椭圆()22
22101x y m m m
+=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，
所以12AF AF a ==，
123
F AF π
∠=
Q ，12F AF ∴△为等边三角形，则112AF F F =，即2122m a c +===，因此，3m =.故选：C.
5.已知单位向量,a b 满足0a b ⋅=
，若向量72c a b =+ ，则sin ,a c 〈〉= （
）
A.
73
B.
23
C.
79
D.
29
【答案】B
【解析】【分析】本题借助
cos ,a c a c a c ⋅〈〉=⋅ 将72c a b =+
代入化简即可.【详解】因为,a b
是单位向量，所以1a b ==r r .
因为72c a b =+ ，所以(
)
2
22
7272723c a b a b
a b =
+=
+=+= .
所以(
)
2727277
cos ,=3a a b a c a a b a c a c
a c a c c
⋅+⋅+⋅〈〉==
==⋅⋅⋅
所以sin ,3a c 〈〉== .故选：B.6.()()()2
3
9
111x x x ++++++ 的展开式中2x 的系数是（
）
A.60
B.80
C.84
D.120
【答案】D 【解析】【分析】
()()
()23
9
111x x x ++++++ 的展开式中2x 的系数是222
22
349C C C C ++++ ，借助组合公式：11m m m
n n n C C C -++=，逐一计算即可.
【详解】()()()239
111x x x ++++++ 的展开式中2x 的系数是2222
2349C C C C ++++ 因为1
1m m m n
n n C C C -++=且2323C C =，所以22323
23334C C C C C +=+=，
所以222233
234445C C C C C C ++=+=，
八省联考
以此类推，2222323
234999101098
120321
C C C C C C C ⨯⨯++++=+===⨯⨯ .故选：D
.【点睛】本题关键点在于使用组合公式：1
1m m m
n
n n C C C -++=，以达到简化运算的作用.
7.已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为（
）
A.210x y ++=
B.3640x y ++=
C.2630x y ++=
D.320
x y ++=【答案】B 【解析】【分析】
先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线AB ，AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程.
【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，
设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0
到切线的距离1d =
=
，解得k =
，如图，直线):22AB y x -=-，
直线):22AC y x -=-.
联立)2
222y x y x
⎧-=-⎪⎨
=⎪⎩
，得(
)
2
314160x x ++-，
故163A B x x -=
，由2A x =
得83B x -=
，故6
3
B y -=，
联立)2222y x y x
⎧-=-⎪⎨=⎪⎩
，得(
)
2
314160x x -++=，
故16833A C x x +=
，由2A x =得8433C x +=，故236
3C y --=，故236236
433
B C y y ---+=
+=-，又由,B C 在抛物线上可知，直线BC 的斜率为
22221
114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=
====-
-+--，
故直线BC
的方程为618323y x ⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，即3640x y ++=.故选：B.【点睛】方法点睛：
求圆的切线的方程的求法：
（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程；（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程.8.已知5a <；且5e 5e ,4a a b =<；且44,3b be e c =<；且3e 3e c c =，则（
）
A.c b a <<
B.b c a
<< C.a c b
<< D.a b c
<<【答案】D
【解析】【分析】令(),0x
e f x x x
=>，利用导数研究其单调性后可得,,a b c 的大小.
【详解】因为5e 5e ,
5a a a =<，故0a >，同理0,0b c >>，
令(),0x
e f x x x =>，则()()2
1x e x f x x
-'=，当01x <<；时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在()0,1为减函数，在()1,+∞
为增函数，
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