数学-函数的单调性
　函数的单调性
数学函数　
1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念.
2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.
3.能运用定义法证明函数的单调性．
导语
同学们，大家有没有体验过过山车？我可是过山车的资深体验师哦，风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声，简直是一场视觉与听觉的盛宴．当然，过山车的设计可是离不开数学家的身影，我们今天的这节课就和这刺激的游戏有关哦．
一、直观感知函数的单调性
问题1　观察下面三个函数图形，他们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
提示　函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．
问题2　如何理解函数图象是上升的？
提示　按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大．图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值逐渐增大．也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大．
知识梳理
函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)
<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．
如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．
注意点：①区间D可以是整个定义域I，也可以是定义域的真子集；②同区间性，即
x1，x2∈D；③任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替；④有序性，即要规定x1，x2的大小；⑤“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一，但自变量和函数值的不等方向要一致，简称为“步调一致增(减)函数”；⑥单调递增(递减)是函数的局部
性质，增(减)函数是函数的整体性质．
例1　已知函数f (x )＝x 2－4|x |＋3，x ∈R .根据图象写出它的单调区间．
解　f (x )＝x 2－4|x |＋3＝Error!
如图．
由图象可知，函数的单调递增区间为[－2,0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，
[0,2)．
反思感悟　(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间．
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．
跟踪训练1　画出函数y ＝|x |(x －2)
的图象，并指出函数的单调区间．
解　y ＝|x |(x －2)＝
Error!
函数的图象如图实线部分所示．
由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
二、利用定义证明函数的单调性
例2　证明函数f (x )＝在区间(2，＋∞)上单调递减．
1
x 2－4证明　∀x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝－1
x 2
1－41x 2－4＝＝.x 2－x 21(x 2
1－4)(x 2－4)(x 2－x 1)(x 2＋x 1)(x 21－4)(x 2－4)因为2<x 1<x 2，
所以x 2－x 1>0，x >4，x >4，2
12所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．
所以函数f (x )＝在(2，＋∞)上单调递减．
1
x 2－4反思感悟　利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值并规定大小：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2；
(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；
(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论．
(4)结论：根据定义确定单调性．
跟踪训练2　求证：函数f (x )＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增．
1x 证明　∀x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2<0，
因为f (x 1)－f (x 2)＝－－1－＝－＝，1x 1(－1x 2－1
)
1x 21x 1x 1－x 2x 1x 2由题设可得，x 1－x 2<0，x 1·x 2>0，
所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，
故函数f (x )＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增．
1x 三、函数单调性的简单应用
例3　(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
答案　(－∞，－4]
解析　f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3
＝－(x ＋a ＋1)2＋(a ＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a －1]，
由f (x )在(－∞，3]上单调递增知3≤－a －1，
解得a ≤－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4]．
(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．
答案　(－∞，1)
解析　∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，
∴2x －3>5x －6，即x <1.
∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．
延伸探究
1．在本例(1)中，若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a 的
值为________．
答案　－4
函数单调性解析　f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3
＝－(x ＋a ＋1)2＋(a ＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a －1]，
由题意得－a －1＝3，a ＝－4.
2．若本例(2)的函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x 的取值范围．
解　由题意可知，Error!
解得x >，
32∴x 的取值范围为.
(32，＋∞)反思感悟　由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件．若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．
若为复合函数y ＝|f (x )|或y ＝f (|x |)——数形结合，探求参数满足的条件．
(2)当函数f (x )的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．跟踪训练3　已知函数f (x )＝Error!若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________．
答案　[4,8)
解析　因为f (x )是R 上的增函数，所以Error!
解得4≤a <8.
1．知识清单：
(1)增函数、减函数的定义．
(2)函数的单调区间．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：
(1)函数的单调区间不能用并集．
(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域．
1.函数y ＝f (x )，x ∈[－4,4]的图象如图所示，则f (x )的单调递增区间是(  )
A ．[－4,4]
B ．[－4，－3]∪[1,4]
C ．[－3,1]
D ．[－3,4]
答案　C 解析　由图象知单调递增区间为[－3,1]．
2．若函数f (x )在R 上是减函数，则有(  )
A ．f (3)<f (5)
B ．f (3)≤f (5)
C ．f (3)>f (5)
D ．f (3)≥f (5)
答案　C
解析　因为函数f (x )在R 上是减函数，3<5，
所以f (3)>f (5)．
3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有(  )
A ．k >
B ．k >－
C ．k <
D ．k <－12121212
答案　C
解析　由2k －1<0，得k <.
124．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x 2－2)<f (－x )，则x 的取值范围是________．答案　(－2,1)
解析　由x 2－2<－x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.课时对点练
1．下列说法中，正确的有(  )
①函数y ＝x 2在R 上是增函数；②函数y ＝－在定义域上是增函数；③函数y ＝的单调区1x 1x 间是(－∞，
0)∪(0，＋∞)．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
答案　A

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。