专题 函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 | 减函数 | |
定义 | 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 | |
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 | 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 | |
图象描述 | 自左向右看图象是上升的 | 自左向右看图象是下降的 |
(2)单调区间的定义
函数单调性若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 | 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 | |
条件 | (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M | (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M |
结论 | M为最大值 | M为最小值 |
3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)
(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．(×)
(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)
(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)
(5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)
(6)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(×)
考点一 求函数的单调性(区间)
命题点 | 1.求具体解析式的函数的单调性(区间) 2.求解析式含参数的函数的单调性(区间) |
[例1] (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
答案：A
(2)函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．
答案：(－∞，0)
(3)判断并证明函数f(x)＝(其中a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性．（二次除以一次的处理；拓展一次除以一次）
[方法引航] 判断函数单调性的方法
(1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.
(2)利用复合函数关系：简称“同增异减”.
(3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降，单调减.
(4)性质法：增函数与减函数的加减问题。
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x C．y＝ln x D．y＝|x|
选B.
2．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B. C．[0，＋∞) D.
选B.
3．已知a＞0，函数f(x)＝x＋(x＞0)，证明：函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．（掌握对勾函数；明确对勾函数的特征）
考点二 利用函数的单调性求最值
命题点 | 1.求单调函数的最值 2.求函数的值域 |
[例2] (1)函数f(x)＝在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．答案：，1
(2)已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)，若f(x)在上的值域为，则a＝________.
答案：
1．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1 B．1 C．6 D．12
f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
考点三 函数单调性的应用
命题点 | 1.比较函数值的大小 2.求字母参数 3.解不等式 |
[例3] （1）已知，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
(2)已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是________．
答案：
[方法引航] (1)利用单调性比较大小，首先把不在同一个单调区间上的变量转化为同一个单调区间，再结合单调性进行比较.
(2)已知函数的单调性确定参数的值域范围要注意以下两点：①任意子区间上也是单调的；②注意衔接点的取值.
1.在本例(2)中，若f(x)不变且a∈.解不等式f(4a2－2a－5)＜f(a＋2)．
f(4a2－2a－5)＜f(a＋2)的解集为.
2.定义在R上的函数 对任意都有，成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. [－3,－2] B. [－3,0) C.(－∞,－2] D. (－∞,0)
[易错警示]
定义域的请求——求函数单调区间先求我
1．函数的单调区间是定义域的子集，求函数的单调区间必须做到“定义域优先”的原则．
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