第二讲 函数的单调性与最值
A组基础巩固
一、单选题
1．下列函数在区间(0，＋∞)内是减函数的是( B )
A．f(x)＝ln x B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ D．f(x)＝－
[解析] 对于A，f(x)＝ln x，为对数函数，其底数e>1，在区间(0，＋∞)内是增函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝e－x＝x为指数函数，其底数<1，在区间(0，＋∞)内是减函数，符合题意；
对于C，f(x)＝＝x，为幂函数，在区间(0，＋∞)内是增函数，不符合题意；
对于D，f(x)＝－＝，为反比例函数，在区间(0，＋∞)内是增函数，不符合题意．
2．函数f(x)＝1－( B )
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递减
[解析]
f(x)的图象可由y＝－的图象沿x轴向右平移一个单位长度，再沿y轴向上平移一个单位长度得到，如图所示．
3．函数f(x)＝在区间[3,7]上的最大值是M，最小值是N，则＝( C )
A． B．
C．3 D．2
[解析] f(x)在[3,7]单调递减，故最大值为f(3)＝.最小值f(7)＝，则＝3，故选C.
4．若函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则实数b的取值范围是( A )
A．b≥0 B．b≤0
C．b>0 D．b<0
5．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是( A )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
[解析] 由已知易得即x>3，
f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)＝log0.5(x＋1)(x－3)，x>3，
令t(x)＝(x＋1)(x－3)，
则t(x)在(3，＋∞)上单调递增，
又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．
6．(2022·广东省佛山市佛山一中月考)已知函数f(x)是定义域为[0，＋∞)上的减函数，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是( C )
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．[2,3) D．[0,3)
[解析] f(x)在定义域[0，＋∞)上是减函数，且f(2)＝－1，
∴f(2x－4)>－1可化为f(2x－4)>f(2)，
∴解得2≤x<3.
7．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为( B )
A．－3 B．－2
C．－1 D．1
[解析] ∵f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f(3)＝1，即3＋m＝1，∴m＝－2.故选B.
二、多选题
8．已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( CD )
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
[解析] 根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2 <0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．
9．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( BC )
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0
D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
[解析] 易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；
若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；
当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D不正确．
三、填空题
10．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上不具有单调性，则实数a的取值范围为 (1,2) .
[解析] 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都分别具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上不具有单调性，只需1<a<2.
11．函数y＝－x(x≥0)的最大值为 ；增区间为 .
[解析] 令t＝，则t≥0，
所以y＝t－t2＝－2＋，
所以当t＝时，ymax＝.
t＝为增函数，y＝t－t2在上递增，
所以增区间为.
12．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是 (3，＋∞) .
[解析] ∵函数f(x)＝ln x＋x的定义域为(0，＋∞)，且为单调递增函数，∴f(a2－a)>f(a＋3)同解于解得a>3.所以正数a的取值范围是(3，＋∞)．
四、解答题
13．(2022·天水模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]，
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
[解析] (1)a＝－1，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
因为x∈[－5,5]，所以x＝1时，f(x)取最小值1，
x＝－5时，f(x)取最大值37.
(2)f(x)的对称轴为x＝－a；因为f(x)在[－5,5]上是单调函数，
所以－a≤－5，或－a≥5，
所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
14．已知函数f(x)＝.
(1)试判断f(x)在[1,2]上的单调性；
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最值．
[解析] (1)解法一：任取x1，x2∈[1,2]，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝－＝
＝，
＝
∵x1，x2∈[1,2]，
∴－2≤x2－3≤－1，－2≤x1－3≤－1，
∴1≤(x2－3)(x1－3)≤4，∴(x1－3)(x2－3)－9<0.
又x2－x1>0，(x2－3)(x1－3)>0，
∴<0，
即f(x2)<f(x1)．
∴f(x)在[1,2]上为减函数．
函数单调性解法二：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝，
∵1≤x≤2，∴f′(x)<0，∴f(x)在[1,2]上为减函数．
(2)由(1)知f(x)在[1,2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝＝－4，
f(x)max＝f(1)＝＝－.
B组能力提升
1．(多选题)函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的可以是( AC )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(1－x)2
C．f(x)＝e1－x D．f(x)＝ln(x＋1)
[解析] 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A中，f(x)＝满足要求；B中，f(x)＝(1－x)2在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C中，f(x)＝e1－x是减函数；D中，f(x)＝ln(x＋1)是增函数．故选A、C.
2．设a∈R，函数f(x)在R上是增函数，则( C )
A．f(a2＋a＋2)<f B．f(a2＋a＋2)>f
C．f(a2＋a＋2)≥f D．f(a2＋a＋2)≤f
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。
发表评论