高中数学选修二：含参函数单调性的分类讨论解题技巧
【思维导图】
考点一 导函数为一根
【例1】．已知函数.讨论的单调性；
【一隅三反】
1．已知函数.讨论函数的单调性；
2．已知函数.讨论的单调性；
3．已知函数，.讨论的单调性；
考点二 导函数为两根
【例2】．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，都有函数单调性成立，求实数的取值范围.
【一隅三反】
1．已知函数，函数．判断函数的单调性；
2．已知函讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围.
3．已知函数，讨论函数的单调性；
考点三 不能因式分解
【例3】．设函数讨论的单调性；
【一隅三反】
1．已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
2．已知函数，讨论的单调性；
答案解析
考点一 导函数为一根
【例1】．已知函数.讨论的单调性；
【答案】见解析
【解析】因为，所以.
①当时，因为，所以在上单调递增；
②当时，令，解得或.
令，解得，
则在，上单调递增；在上单调递减.
【一隅三反】
1．已知函数.讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】的定义域为，，
当时，，则在上是增函数；
当时，，
所以；
或；
，
所以在上是减函数，在和上是增函数.
2．已知函数.讨论的单调性；
【答案】具体见解析
【解析】函数，定义域为，，
当时，.
故在定义域上单调递增，此时无减区间.
当时，令，得；
当时，，故单调递增；
当时，，故单调递减.
综上所述，当时，在定义域上单调递增，此时无减区间；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
3．已知函数，.讨论的单调性；
【答案】当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【解析】因为，所以.
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，由，得；由，得.
故在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
考点二 导函数为两根
【例2】．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
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