专题04 导数与函数的单调性
一、选择题
1. 【三角变换及导数的应用】【2016，新课标1文数】若函数在单调递增,则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2.【利用导数研究函数的性质】【2015，湖南，文8】设函数，则是( )
A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数
C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数
【答案】A
二、非选择题
3. 【利用导数研究函数的单调性，不等式的证明与解法】【2016，新课标Ⅲ文数】
设函数．
（I）讨论的单调性；
（II）证明当时，；
（III）设，证明当时，.
【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略．
4. 【导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式】【2016，天津文数】
设函数，，其中
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；
（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.
【答案】（Ⅰ）递减区间为，递增区间为，.（Ⅱ）略（Ⅲ）略
5. 【导数的运算；利用导数求函数的单调性、最值，解决恒成立问题】【2016，四川文科】
设函数，，其中，e=2.718…为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；
（Ⅲ）确定的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立.
【答案】（1）当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增；（2）证明详见解析；（3）.
6. 【导数的综合应用】【2015，福建，文22】已知函数．
(Ⅰ)求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．
2017年真题 |
1. 【导函数的图象】【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(函数单调性x)的图像可能是（ ）
【答案】D
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
2. 【导数的综合应用】【2017课标1，文21】已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；（2）．
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增．
③若，则由得．
当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．
（2）①若，则，所以．
②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．
综上，的取值范围为．
【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值．
3. 【利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立】【2017课标II，文21】
设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）在 和单调递减，在单调递增（Ⅱ）
所以在 和单调递减，在单调递增
(2)
当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，
故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1
当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1
当0＜x＜1，，，取
则
当时，取
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