第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
二、复合函数定义域问题：
（一）例题剖析：
(1)、已知的定义域，求的定义域
思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。
例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。
解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）
又f对lnx作用，作用范围不变，所以
解得，故函数的定义域为（1，e）
例2. 若函数，则函数的定义域为______________。
解析：由，知即f的作用范围为，又f对f(x)作用所以，即中x应满足
（2）、已知的定义域，求的定义域
思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。
例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。
解析：的定义域为，即，由此得
即函数的定义域为
例4. 已知，则函数的定义域为______________。
解析：先求f的作用范围，由，知的定义域为
（3）、已知的定义域，求的定义域
思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。
例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。
解析：的定义域为，即，由此得
的作用范围为又f对作用，所以，解得
即的定义域为
（二）同步练习：
1、 已知函数的定义域为，求函数的定义域。答案：
2、 已知函数的定义域为，求的定义域。答案：
3、 已知函数的定义域为，求的定义域。答案：
三、复合函数单调性问题
（1）引理证明
已知函数.若在区间）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间）上是增函数.
证明：在区间）内任取两个数，使
因为在区间）上是减函数，所以,记,即
因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，
故函数在区间）上是增函数.
（2）．复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
增 ↗ | 减 ↘ | |||
增 ↗ | 减 ↘ | 增 ↗ | 减 ↘ | |
增 ↗ | 减 ↘ | 减 ↘ | 增 ↗ | |
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
函数单调性（3）、复合函数的单调性判断步骤：
ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：与。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。
（4）例题演练
例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明
解：定义域。单调减区间是 设则
=∵ ∴ ∴> 又底数
∴ 即∴在上是减函数同理可证：在上是增函数
［例］2、讨论函数的单调性.
［解］由得函数的定义域为
则当时，若，∵为增函数，∴为增函数.
若，∵为减函数.∴为减函数。
当时，若，则为减函数，若，则为增函数.
（5）同步练习：
1．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（ ）
A．（－∞，1） B．（2，＋∞）C．（－∞，）D．（，＋∞）答案：B
2出下列函数的单调区间.
（1）；（2）
答案：(1)在上是增函数，在上是减函数。
（2）单调增区间是，减区间是。
3、讨论的单调性。
答案：时为增函数，时，为增函数。
变式练习
一、选择题
1．函数f（x）＝的定义域是（ ）
A．（1，＋∞） B．（2，＋∞） C．（－∞，2） D．
解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，
所以解得1＜x≤2． 答案：D
2．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（ ）
A．（－∞，1） B．（2，＋∞） C．（－∞，） D．（，＋∞）
解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B
3．若2（x－2y）＝x＋y，则的值为（ ）
A．4 B．1或 C．1或4 D．
错解：由2（x－2y）＝x＋y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有＝或＝1．答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．答案：D
4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（，＋∞） D．（0，＋∞）
解析：因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．当f（x）＞0时，根据图象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．答案：A
5．函数y＝（－1）的图象关于（ ）
A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：y＝（－1）＝，所以为奇函数．形如y＝或y＝的函数都为奇函数．答案：C
二、填空题
已知y＝（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．
解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0a＜（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）． 答案：a∈（1，2）
7．函数f（x）的图象与g（x）＝（）x的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的单调递减区间为______．
解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝x
则f（2x－x2）＝（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．
（x）＝2x－x2在（0，1）上单调递增，则f［（x）］在（0，1）上单调递减；
（x）＝2x－x2在（1，2）上单调递减，则f［（x）］在［1，2）上单调递增．
所以f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1）
8．已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（）＝0，
则不等式f（log4x）的解集是______．
解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－）＝f（）＝0．又f（x）在［0，＋∞］上是增函数，所以f（x）在（－∞，0）上是减函数．所以f（log4x）＞0log4x＞或log4x＜－．
解得x＞2或0＜x＜． 答案：x＞2或0＜x＜
三、解答题
10．设函数f（x）＝＋，
（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数f（x）的反函数f－1（x），问函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．
解：（1）由3x＋5≠0且＞0，解得x≠－且－＜x＜．取交集得－＜x＜．
（2）令（x）＝3x＋5，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；
＝－1＋随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．
又y＝lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y＝是减函数，所以f（x）＝＋是减函数．
（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．
设函数f（x）的反函数f－1（x）与工轴的交点为（x0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0＝．所以函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点，交点为（，0）。
一．指数函数与对数函数
．同底的指数函数与对数函数互为反函数；
（二）主要方法：
1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
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