《函数的基本性质》专题复习
（一）函数的单调性与最值
★知识梳理
一、函数的单调性
1、定义：
设函数的定义域为，区间
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。
2、单调性的简单性质：
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数。
3、判断函数单调性的方法步骤：
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
★热点考点题型探析
考点1 判断函数的单调性
【例】试用函数单调性的定义判断函数在区间（1，+）上的单调性.
【巩固练习】证明：函数在区间（0，1）上的单调递减.
考点2 求函数的单调区间
1.指出下列函数的单调区间：
（1）； （2）.
2. 已知二次函数在区间(∞，4)上是减函数，求的取值范围.
【巩固练习】
1．函数的减区间是（ ）.
A . B. C. D.
2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.
A. y=－x+1 B. y= C. y= x2－4x＋5 D. y=
3. 已知函数f (x)在上单调递减，在单调递增，那么f (1)，f (－1)，f ()之间的大小关系为 .
4.已知函数是定义在上的增函数,且,求的取值范围.
5. 已知二次函数在区间(∞，2)上具有单调性，求的取值范围.
二、函数的最大（小）值：
1、定义：设函数的定义域为
如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的 ；
如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的 。
2、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
利用图象求函数的最大（小）值；
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
考点3 函数的最值
【例】求函数的最大值和最小值：
【巩固练习】
1．函数在区间上是减函数，则y的最小值是___________.
2. 的最大（小）值情况为（ ）.
A. 有最大值，但无最小值 B. 有最小值，有最大值1
C. 有最小值1，有最大值 D. 无最大值，也无最小值
4. 已知函数在区间上有最大值3,最小值2,求的取值范围.
3. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.
(二)函数的奇偶性
★知识梳理
函数的奇偶性
1、定义：
①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。
②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。
2、函数奇偶性的性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇奇=奇，
偶偶=偶，
奇偶=非奇非偶，
奇奇=偶，奇÷奇=偶，
偶偶=偶，偶÷偶=偶，
奇×偶=奇，奇÷偶=奇
非零常数×奇=奇，
非零常数×偶=偶。
3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(－x)与函数单调性f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
★热点考点题型探析
考点1 判断函数的奇偶性
【例】判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；（3）.
考点2 函数的奇偶性综合应用
【例1】已知是奇函数，是偶函数，且，求、.
【例2】已知是偶函数，时，，求时的解析式.
【例3】设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数。试判断函数在区间上的单调性，并给予证明。
【巩固练习】
1．函数 (|x|≤3)的奇偶性是（ ）.
A．奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
2.若奇函数在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在上是（ ）.
A. 增函数且最小值是－1 B. 增函数且最大值是－1
C. 减函数且最大值是－1 D. 减函数且最小值是－1
3.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．；B．；
C．；D．
4. 设是上的奇函数，，当时，，则为
5．已知，，则 .
6.已知函数是R上的奇函数，当时，。求函数的解析式。
课后练习
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．下面说法正确的选项（ ）
A．函数的单调区间可以是函数的定义域
B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
2．在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数是单调函数时，的取值范围（ ）
A． B． C ． D．
4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（ ）
A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值
5．函数，是（ ）
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