第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
知识点
n次方根
(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__xn＝a__，则x称为a的n次方根．
(2)表示：
n为奇数 | n为偶数 | ||
a∈R | a＞0 | a＝0 | a＜0 |
x＝____ | x＝__±__ | 0 | 不存在 |
根式
(1)当有意义时，称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．
(2)性质：
①()n＝__a__；②＝
分数指数幂的意义
正分数 指数幂 | n为正整数，有意义，且a≠0时，规定a＝____ |
正分数，a＝__()m__＝ | |
负分数 指数幂 | s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝____ |
无理数指数幂
当a＞0且t是无理数时，at是一个确定的__实数__．
实数指数幂的运算法则(a＞0，b＞0，r，s∈R)
(1)aras＝__ar＋s__．
(2)(ar)函数单调性s＝__ars__．
(3)(ab)r＝__arbr__．
题型
n次方根的概念及相关问题
典例剖析
典例1 (1)求使等式 ＝(3－a)成立的实数a的取值范围；
(2)设－3＜x＜3，求－的值．
[分析] (1)利用＝|a|进行讨论化简．
(2)利用限制条件去绝对值号．
[解析] (1)＝
＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，
需解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围为[－3,3]．
(2)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x＜3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4．
∴原式＝
规律方法：1.对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0时才有意义；(2)只要有意义，必不为负．
2．当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．
根式与分数指数幂的互化
典例剖析
典例2 (1)用根式表示下列各式：a；a；a－；
(2)用分数指数幂表示下列各式：；；．
[分析] 利用分数指数幂的定义求解．
[解析] (1)a＝；a＝；a－＝＝．
(2)＝a；＝a＝a2；＝＝a－．
规律方法：根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．
有理(实数)指数幂的运算法则的应用
典例剖析
典例3 化简：(1)(5x－y)··(其中x＞0，y＞0)；
(2)0.064－－0＋[(－2)3] －＋16－0.75；
(3)32＋×27－；
(4)(1＋)[(－－1)－2()]＋()1－×()1＋．
[分析] 利用幂的运算法则计算．
[解析] (1)原式＝·x－＋(－1)＋·y＋－＝x－y．
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3
＝－1＋＋＝．
(3)32＋×27－＝32＋×(33)－＝32＋×3－＝32＋－＝32＝9．
(4)(1＋)[(－－1)－2()]＋()1－×()1＋
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