都江堰校区 （数学） 辅导讲义
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课题 | 函数的单调性 |
基础盘查一 函数的单调性
1．判断正误
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( )
(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( )
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( )
(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( )
2．(人教A版教材习题改编)函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________．
3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是________．
基础盘查二 函数的最值
4．判断正误
(1)所有的单调函数都有最值( )
(2)函数y＝在[1,3]上的最小值为( )
5．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则函数的最大值为________．
【答案】1．(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×；2．[2,4]；3．；4．(1)× (2)√；5．2
[必备知识1]：单调性的定义
设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1<x2，则有：
(1)f(x)在区间D上是增函数?f(x1)<f(x2)；
(2)f(x)在区间D上是减函数?f(x1)>f(x2)．
设x1，x2∈[a，b]，如果>0，则f(x)在[a，b]上是单调递增函数，如果<0，则f(x)在[a，b]上是单调递减函数．
[必备知识2]：确定单调性的方法
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再取值—作差—变形—确定符号—下结论．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
[典题例析]
【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
【解析】选C 当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C.
【例2】判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．
【解】任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则g(x1)－g(x2)＝－＝，
因为1<x1<x2，所以x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0，因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)．
故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
[必备知识2]：求函数的单调区间与确定单调性的方法一致
[典题例析]
【例3】 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3|x|； (2)f(x)＝|x2＋2x－3|； (3)y＝－x2＋2|x|＋1.
【解】(1)∵f(x)＝3|x|＝图象如图所示．
f(x)在(－∞，0]上是减函数，
在[0，＋∞)上是增函数．
(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.
先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方
的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．
由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；
函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．
(3)由于y＝即y＝
画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，
单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
【例4】求函数y＝的单调区间．
【解】令u＝x2＋x－6，y＝可以看作有y＝与u＝x2＋x－6的复合函数．
由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，
而y＝在(0，＋∞)上是增函数．
∴y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．
[必备知识3]复合函数单调性的判断
利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)．
【多角探明】函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值； (2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式； (4)利用单调性求参数的取值范围或值. |
角度一：求函数的值域或最值
【例5】函数f(x)＝的最大值为________．
【解析】当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2. 故函数f(x)的最大值为2.
角度二：比较函数值或自变量的大小
【例6】设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a)
C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a)
【解析】选D 由a2＋1－a＝2＋，得a2＋1>a，又∵f(x)是R上的减函数，∴f(a2＋1)<f(a)．
【例7】(2014·广州模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为 ( )
A．c＜b＜a B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【解析】选B ∵函数图象关于x＝1对称，∴a＝f＝f，又y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2)＜f＜f(3)，即b＜a＜c.
角度三：解函数不等式
【例8】f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )
A．(8，＋∞) B．(8,9]
C．[8,9] D．(0,8)
【解析】选B 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8＜x≤9.
角度四：利用单调性求参数的取值范围或值
【例9】函数单调性已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．
C．(－∞，2] D．
【解析】选B 由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是 .
[类题通法]
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
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