)»2022
年第3期
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v y 中学数学教学参考（中旬） ------------------
“质”。如何有效提升中考复习课的教学质量？笔者 认为，有针对性的专题复习是比较好的选择。通过专 题复习凸显知识的本质，力求达到“解一题，学一法， 通一类”的境界。基于此，本设计只是从“定点定长” “定弦定角”展开教学，希望能唤醒学生的学习兴趣， 从而继续探索其他类型的动点轨迹问题。其中，例题 的选择都具有可操作性，让学生在动手实践中探求新 知。笔者认为，最好的教学过程就是让学生去亲身体 验，体验知识的生成，体验知识的生长，体验知识的深 层应用。
4
作业单
D 4. 1
作业设计
1. (2021年攀枝花中考题）如图15，在矩形
ABCD 中，已知 AB = 3，BC = 4，
点P 是B C 边上一动点（点P 不
与B ，C 重合），联结A P ，作点B 关于直线A P 的对称点M ，则线 段M C 的最小值为（
）。
A .
B . 4-
C .
D . VT 0
2.如图16，已知0O ，A B 是 直径，AB = 4，弦CD 丄且过
O B 的中点£，P 是劣弧B C 上一 动点，DF 丄A P ，垂足为F ，则点P 从C 运动到B 的过程中，点F 运 动的路径长度为（
）。
B .73
C . —7图16
D .
3.如图17，等边三角形CMB 的边长为1，以〇为圆心、C D 为 直径的半圆经过点A ，联结AD，c 〇
B C 相交于点P ，将等边三角形
图17
OAB 从O A 与O C 重合的位置开始，绕着点O 顺时针
旋转120%交点P 运动的路径长是（ ）。
V 3
A .
D .
4. (2021年长春中考题）如图 18，在AABC 中，Z C =90°，AB = 5,
BC =3，点D 为边A C 的中点。动点 P 从点A 出发，沿折线A —B —C 以 每秒1个单位长度的速度向点C 运 动，当点P 不与点A ，C 重合时，联结
图18
PD 。作点A 关于直线的对称点A '，联结A 'E »， A 4。设点P 的运动时间为z 秒。
(1) 线段A D 的长为_______；
(2) 用含i 的代数式表示线段B P 的长；(3) 当点A '在A A B C 内部时，求f 的取值范围；(4) 当
与
相
等
时
，直接写出《的值。
4.2设计说明
“双减”背景下的作业设计，要在作业“总量”上做 “减法”的同时，在作业“品质”上做“加法”。作业的设 计有三个阶段，课前预习阶段——引导性作业，课堂
学习阶段——
形成性作业，课后复习阶段——
诊断性
作业。教师应依据学情，通过选题、改题、创题来设计
作业，从作业布置走向作业设计，从作业检查走向作
业监控。本作业单的设计对课堂内容灵活变通，着重 检测学生对本专题模型本质的掌握情况，重视学生的
全面发展。
“胡不归”问题
吴守江（广东省深圳市坪山实验学校)
文章编号：1002-2171 (2022)3-0034 - 05
1
内容分析
“胡不归”问题是近年中考的热点，属于经典的几
何最值问题。由于涉及几何图形、动点、最值、三角函 数等知识点，对辅助线的构造及学生的运算能力要求 较高。此类问题综合性强，关系复杂，解法灵活，是中 考的难点。求与线段有关的最值问题时，往往都是利 用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”求形如
“PA + PB ”的最值，求的是线段长度的最小值，即路 径最短。而“胡不归”问题的本质是求带系数的两线 段和的最值问题，即当点P 是某直线上的动点，求形 如1PA + P S ”的最值。平时教学中，学生容易把求 “々PA + P B ”的最值作为“路径最短”来思考，但实际
上“胡不归”
问题求的是用时最短。
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2复习目标
通过复习“胡不归”问题，培养学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模、运算能力和数据分析 等素养，使学生能灵活运用化归、数形结合、函数和建 模等思想方法解决数学问题，从而将难题简单化，提高学生综合解题能力。
3教学过程
3.1教学设计
3.1.1创设故事情境，激发探究欲望
故事：从前，有个少年外出求学，突闻父亲病危，他赶紧回家看望父亲。由于归乡心切，他考虑到“两 点之间，线段最短”，于是直接通过全是砂石地带的直 线路径A—B(图1)回到家。少 J
年到家之后，却没能见着父亲最
后-面。_雜，父亲》
留之际，不断念叨：“胡不归，胡不 S l
归。”少年悲痛万分，后悔自己没
有认真考虑是不是可以用更短的时间赶回家。那么，少年能否提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样 的路线？
功能分析:“良好的开端是成功的一半”，一节成 功的数学课离不开精彩的导人环节。在“双减”背景 下，教师要力求通过设计适当的背景故事导人新课，迅速集中学生的注意力.激发学生的学习兴趣，使学 生主动参与学习活动。本故事可以使抽象的教学内 容形象化、具体化、清晰化，有助于教学活动的开展。
教学示范：教师用幻灯片出示故事情节，指出这 就是“胡不归”问题的起源，点明本节课复习的主题, 激发学生学习兴趣，并期待在教师的引导下到使少 年提前到家的路径。
3.1.2抽象数学问题，建立基本模型
教师组织学生一起探究，从实际问题中抽象出数 学问题，建立数学模型。
功能分析：数学建模是对数学问题进行简化、形 成结构的过程，是一种数学思想方法，是解决具有某 种特征的数学问题的强有力手段。在“双减”背景下，可通过数学建模拓展学生的思维空间，让学生享受学 习数学的乐趣，体验数学的生命活力。这里要引导学 生从实际问题抽象数学模型，打破常规，摒除惯性思 维，力求从表面现象挖掘出实际问题的数学本质。
教学示范：（1)抽象。教师先问学生，在背景故事
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中，“少年提前到家”的含义是什么？大部分学生能说 出提前到家就是回家用的时间短，走路的速度快。这时，教师引导学生分析：如图2
所示，少年选择全是砂石地带
的直线路径A— B回家，虽然
路径短，但由于速度较
慢，用时就会较长。而如果选择走折线A—P—B，虽然路程较远，但因—段路是驿道，行走速度较 快，总的用时反而较短。“胡不归”问题研究的就是当 行走时间最短时，点P应该在何处。
接着，引导学生从实际问题中抽象出数学问题：如图2，点A在直线M N上，点B在直线JWV外，点
A，B为定点，一动点P在直线M iV上的运动速度为 A，在线段A B和上的运动速度为动
P4 P R
点P由点A运动到点B的时间《=----1---，确定点
幻1v2
P从A P折向的位置，使《的值最小。
(2)转化。对于如何求《的最小值，教师告诉学 生，这类问题经常采用转化的数学思想来解决，现在
要做的就是把M+M中P A和的系数转化为
V\ V2
1，从而化归为常见的“PA+P B”型最值问题。
将丄提取出来，f+^=丄(土 PA+
X>2V2^l V i V2V V i
P B)，设&=从而转化为求WA+P B的最小值。
如何将的系数々转化为1呢？因为
巧，所以* =&<1。如图3(1)，可以构造Z£A N，使
V l
sin Z£A N=々，过点 P 作 PC丄 A E，sin Z E A N=
p r
是=g，即PC=々P A，从而将求々PA+P B的最小值，转化为求PC+P B的最小值。
此时，学生很容易理解.根据“垂线段最短”原理，如图3(2)，过点B作丄A E交JWV于点P，交AE 于点H，则PC+P B取到的最小值为线段的长度。所以APA+P B的最小值为的长度。
至此，可以归纳出“胡不归”模型：A，B为两定 点，P为直线上的动点，求形如“々PA+PB”
的最值。
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......
3.1.3 典型案例剖析，总结解题步驟
例
（2020年新疆中考题）如图4，在A A B C 中，
Z B A C = 90°, Z B = 60°, A B = ^
2，若D 是B C 边上的动点，求2A D +D C 的最小值。
b L ~^------_
^c
功能分析：“双减”背景下
Dgn
的复习教学，要以学生为主，教师为辅，且在实施过程 中，适当降低问题探究的难度，使学生的主动性和创 造性得到有效发挥。本例旨在让学生在已经初步了 解“胡不归”模型的基础上，对解题步骤、规范进行综 合性探究。学生在自主探索、合作交流中思考、质疑、 辨析、释疑，直至豁然开朗。
教学示范：教师引导学生分析题意，该问题中，
A ，C 是定点，D 是线段
B
C 上的动点，2A
D + D C 中，
A D 的系数不为1，符合“胡不归”模型特征。
为了将々化为1，需要构造一个角，并使该角的正 弦值（小于1)等于々。而A D 的系数为2，大于1，教 师告诉学生.遇到系数比1大时，需要提取该系数。从而把2AD +D C 变形为2( AD ++DC )，再将音DC 转化为另一条线段。因为々=去，所以构造的角是30°。回顾图3(2)，可以确定构造的角要以C 为顶点， 且D C 是这个角的一条边，如 图5。再作D £丄CM ，垂足为£，将音D C 转化为D £。根据“垂线段最短”，过点A 作
丄CJM ，垂足为H ，则 的长度即为AD + D E 的最
小值。
求解长度的过程可以交由学生自己完成:
,AC
图5
在A A B C 中，因为ZBA C = 90°，所以
AB
ta n B 0
因为 Z B =60°,AB =2，所以 ZACB =30°，/V C =2W 。
因为 A H 丄CM ,Z A C f / = 30° + 30° = 60°，所以
AH = AC • sin ZACH = 3〇
又 2AD +DC =2(AD ++ DC ) =2(AD + D E )，所以2AD +D C 的最小值为2AH = 6。
完成典型例题剖析后，总结“胡不归”模型的解题 步骤：
(1)判断是否为“胡不归”问题：①系数不为1的 两条线段的和（形如々PA + P B );②动点在直线上
运动。
(2) 确定两定点一动点，列出代数式。
(3)
整理系数，提取较大的系数，使得一条线段的
系数等于1，另一条线段的系数小于1(为々）。(4) 以系数为々的线段的定点端点为顶点、此线段为一边构造一个角，使这个角的正弦值为々。
(5)
过另一个定点向构造的角的新边作垂线段
垂线段的值即为最小值。
3.1.4 中考真题演练，形成解题能力
(2021年资阳中考题）抛物线3<=—;r 2+6:r + c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且B ( —1，
0)，C (0,3)。
(1) 求抛物线的解析式；(2)
如图6，点P 是抛物线上位于直线A C 上方
的一点，B P 与A C 相交于点£，当P E :B £= 1:2时，
求点P 的坐标；
(3) 如图7，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿
C D 方向平移，使点D 落在点D '处，且DD ' = 2CD ，点 M 是平移后所得抛物线上位于D '左侧的一点，
轴交直线OD '于点iV ，联结CN ，当f D 'iV +
CiV 取最小值时.求M N 的长。
功能分析：这是一道中考压轴题，压轴题的功能 是对不同水平层次的学生进行区分和选拔，考查学生 对初中阶段核心知识、重要方法和数学思想的理解及 掌握水平，基本都会涵盖方程、不等式、二次函数、相 似、图形变换、特殊四边形等知识。此类题型涉及知 识面广、解法多样，对学生综合能力要求较高。设置 本道题旨在对“胡不归”模型进行深度学习，培养学生 综合运用知识的能力。
教学示范：第(1)问比较简单，让学生采用待定系数 法自主完成，求得抛物线的解析式为7= —工2 +2_r +3。
第（2)问，教师先让学生合作探究，根据学生探究 情况，引导学生分析：在遇到二次函数图像中的线段 比值时，
要转化为与坐标轴平行或垂直的线段来解
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决。如图8，分别过点B,P作平行于y轴的线段
和PQ，交A C于点了，Q。因为// PQ，所以 A E B7V3A E P Q，问题转化为当PQ:B：r=l:2时，求 点P的坐标。而B T的长度是定值，问题迎刃而解。在思路清晰的情况下，解的过程可以由学生自主完 成。最终得到点尸的坐标为（1，4)或(2,3)。
第（3)问，首先通过观察f Z/N+C N的形式，判断这是一个“胡不归”问题。可以按照“胡不归”模型解题步骤.向学生一步步提出问题：把的系数
转化为1，需要如何构造角？学生思考后，基本能画 出图9，联结D'A，过点N作N J丄D'A，垂足为J，过 点C作C T丄D'A，垂足为T。接着让学生细读题目.
发现第(3)问不是求f D'N+C N的最小值，而是求M N的值。让学生讨论，如何求M N的长呢？学生能够分析出f o'N+C N取最小值时，点N的纵坐标
等于点C的纵坐标，而点N在直线OD'上，由点N的纵坐标求出其横坐标，再求出点M的坐标，即可得 iWV的长。
解题过程先由学生完成，教师根据学生完成情况 进行订正：
因为抛物线 j=_i2+2:c+ 3 =—(i—1)2+4, 所以顶点D的坐标为（1，4)。因为C(0,3)，所以直线
C D的解析式为y=：c+3，CD=W。因为DD'=
2 W，所以点的坐标为（3,6)，所以平移后的抛物线 解析式为:y=—(T—3)2+6=—：c2+6：c_3。
因为A(3,0)，所以IT A丄:c轴，D'A=6，所以sin Z_OD A=7T7T7 =.i =t~〇因为 N J丄
OD v/32+625
D'A，所以 =a Afsin A =f a N，所以
售 D'N+CN=N J+C N>C T。
所以当f〇'N十C N取最小值时，点N是C T与OD'的交点，所以点N的纵坐标为3，进一步可求得 点iV的坐标为(音，3)。因为iV LV//y轴，点iW在平移后的抛物线上，所以点iw的坐标为(音，¥)，
順=孕一3 =4。
4 4
故当f D'N+CN取最小值时,M N的长为|>。
3.2教学设计说明
“双减”政策下如何提高课堂学习效率是本节课
的出发点。对于难度较高的“胡不归”问题，通过建立 数学模型为学生提供解题策略是较好的办法。本节 课以故事情境引入，抽象数学问题.通过案例分析，提炼数学模型，用中考真题演练巩固.课堂学习过程呈 现“起点低，坡度缓，尾巴略翘”的特点。通过数学建 模，将思维过程简约化，将数学问题本质化，将复杂问 题规律化，使学生有了思考方向，从而让学生学有所 获，达到降低学习难度和减轻学习负担的目的。
4作业单
4.1作业设计
1. (2019年长沙中考题）如
图 10，AABC 中，AB=AC=10，
tan A=2，_B E丄AC，垂足为 E，D
是线段B E上的一个动点，则
CD+#D B的最小值是（）。
A.2V5
B.4^5
C.5V3
D. 10
2. 如图11，已知抛物线:y=
x2—4x+3与坐标轴的交点分
别是A,B,C，点Q为线段OC上
一动点，问：A Q+f Q C是否存
在最小值？若存在，求出这个最
小值；若不存在，请说明理由。
4.2设计说明
作业是手段，知识得到巩固是最终目的。在“双减”背景下，为了达到这个目的，教师要精心设计作业，做到少而精，避免简单、机械、重复性的大量作业，让学 生在快乐中学习，巩固知识，达到“减负增效”的目的。
本作业单第1题以三角形为背景，第2题以二次
A
图
10
38 ——」___________★*★★★★ —
中学数学教学参考（中旬）
函数为背景，分别对应课堂上的案例解析和例题，学生 可以通过类比完成，降低了难度。计算出的数据也避 免了偏、难、怪的数字，使计算简便，学生对“胡不归”问题能够迅速上手，增加解题自信，减轻学习负担。
箄18讲存在性问题
刘华为（上海市岭南中学）
文章编号：1002-2171 (.2022)3-0038-04
1内容分析
存在性问题，是指在一定条件下，判断某种数学 对象是否存在的问题，这类问题构思巧妙，能有效考 查学生思维的敏锐性、推理的严谨性和能力的发展 性，因而备受中考命题者的青睐。
此类问题既契合《义务教育数学课程标准（2011 年版）》强调的通过探究性学习改变学生学习方式和 提升学生学习能力的指导思想，又适当兼顾区分度，因此常以压轴题形式出现，并与动态问题和二次函数 结伴而行。常见的类型主要有“特殊三角形存在性问 题”“特殊四边形存在性问题”“全等（或相似）三角形 存在性问题”“图形（线段或角）数量关系存在性问题”和“图形位置关系存在性问题”等。
存在性问题的主要解题策略是：先假设存在，再 结合已知条件和已学相关知识（如定义、公式、公理与 定理等）进行演
算与论证，得到某一结论。如果推理 与演算得到的结论与某个已知条件或相关知识相吻 合，说明假设成立，即存在；否则，不存在。其基本解 题模式为“假设一推理一否定或肯定结论一得出结 论”。由于此类问题常见于中考，教师对其研究较为 深人，从而容易形成处理问题的基本模式和教学风 格，因此学生在处理存在性问题时不会感到无从下 手，只是由于其综合能力存在偏差，导致常常出现“漏解（对分类讨论的标准不明确）”“断解（对运用其他综 合知识迁移方向不明，出现思维断路）”和“盲解（对新 出现的存在性问题缺乏处理经验导致无从下手）”。
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虽然图形存在性问题根据形状或关系大致可分
为五大类，但求解策略与处理方式基本一致，限于篇
幅，本文以“特殊三角形的存在性问题”和“线段差最
值存在性问题”为例，阐述存在性问题的教学策略与
设计意图，供读者参考。
2复习目标
(1) 系统梳理存在性问题的常见类型，丰富学生处理问题的基本经验；
(2) 深人挖掘处理存在性问题的基本策略，提高学生解决问题的基本技能；
(3) 有效构建存在性问题的处理模型，提升学生的类比迁移能力；
(4) 丰富数学思想（所涉及的数学思想主要有分类讨论思想、方程思想、数形结合思想和转化思想），
优化学习方式（从知识溯源人手，培养学生运用知识
山东中考时间2022年具体时间解决问题的能力，强化学生的思维调控技巧），提升学
习能力（主要是分析问题、解决问题和探究问题的综
合能力）。
3教学过程
3.1教学设计
例1(2021年南充中考题）如图1，已知抛物线
：y=a：c2+6:r+4(a^0)与:c轴交于点 A(1,0)和与
J轴交于点C，对称轴为直线：r=|。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 如图1，若点P是线段B C上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线，交抛物线
于点Q，联结OQ，当线段P Q长度最大时，判断四边
形OCPQ的形状并说明理由。
(3) 如图2，在(2)的条件下，〇是〇0的中点，过点Q的直线与抛物线交于点£：，且ZDQ£=2Z〇DQ。在
y轴上是否存在点F，使得A B E F为等腰三角形？若
存在，求点F的坐标；若不存在，
请说明理由。
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