广东省揭阳市普宁国贤学校2023届高三下学期3月衡水大联
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数z 满足：(i 1)i 13i z ++=+，则z 的虚部为（）
A ．i 2
-
B ．
i 2
C ．12
-
D ．1
2
2．已知集合{}
2
Z 340A x x x =∈--<，{}2,1,0,2,3B =--，则A B ⋂为（
）
A ．{1,0,2,3}-
B ．{0,2,3}
C ．{2,1,0}--
D ．{2,3}
3．已知向量(2,1),(1,3)a b =-= ，则向量2a b +
在向量a 方向上的投影向量为（
）
A ．(6,3)
-B ．
C ．55⎛- ⎪⎝⎭
D ．63,55⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
4．已知数列{}n a 满足211a a ==，且()22112212n n n n a a a a n +--=-+≥，则2
202320222a a -的
值为（）
A ．2021汽车空气净化器
B ．2022
C ．2023
D ．2024
5．已知函数π()cos()0,02f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+><< ⎝
⎭的最小正周期为T ，若1()2f T =，且函
数()f x 的图象关于直线7π
3
x =对称，则ω的最小值为（）
A ．3
B ．
53
C ．27
D ．
17
6．设2023ln 2023
ln 2,,2022ln 2022
a b c ===，则（）
A ．a b c
<<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<7．函数()21,1
ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩
，则函数(())1y f f x =-的零点个数为（
）A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．设P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>右支上的点，12,F F 分别为C 的左、右两个焦点，
若11213F PO F PF ∠=∠（O 为坐标原点），且13
cos 4
F PO ∠=，则C 的离心率为（
）
A B一刀两断歌词
竹叶青的作用
上海人民广播电台C D 二、多选题
9．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）
A ．营业收入增速的中位数为9.1%
B ．营业收入增速极差为13.6%
C ．利润总额增速越来越小
D ．利润总额增速的平均数大于6%
10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 绕点(2,1)P -旋转，点Q 为C 上的动点（O 为坐标原点），则（
）
A ．以Q 为圆心，||QF 为半径的圆与直线=1x -相切
B ．若直线l 与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线l 有两条
C ．线段PF 的垂直平分线方程为320
x y -+=D ．过点F 的直线交C 于A ，B 两点，若||4AB =，则这样的直线有2条
11．我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”．现有一如图所示的“暂堵”111ABC A B C -，其中AB BC ⊥，若12,1BB AB BC ===，则（
）
A ．该“堑堵”的体积为2
B ．该“堑堵”外接球的表面积为9π
C ．若点P 在该“堑堵”上运动，则||PA
的最大值为
D ．该“堑堵”上，1AC 与平面11BB C C 12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义城均为R ，记()()g x f x '=，若()f x 关于直线
=1x -对称，(32)g x +为奇函数，则（
）
A ．(1)0f '-=
B ．(2023)(2025)1g g +-=
C ．(3)0
g =D ．(2023)0
g =三、填空题
13．6
1(1)ax x x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中含3x 项的系数为30，则实数a 的值为___________．
14．在某数学活动课上，数学教师把一块三边长分别为6，8，10的三角板ABC 放在直角坐标系中，则ABC 外接圆的方程可以为_____________．（写出其中一个符合条件的即可）
15．已知sin cos 1αα=，则7πsin 2
6α⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值为______________．16．拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数()f x ，如果存在点0x ，使得()00f x x =，那么我们称函数()f x 为“不动点”函数，而称0x 为该函数的不动点．类比给出新定义：若不动点0x 满足()00f x x '=，则称0x 为()f x 的双重不动点．则下列函数中，
①3
()sin f x x x x =-；②1()e x
f x x =-；③e e ()12
x x
f x -+=-具有双重不动点的函数为
_______________．
（将你认为正确的函数的代号填在横线上）四、解答题
17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且21sin 2cos cos sin sin cos 0222
A A
B C B C +-=．(1)求B ；
(2)若ABC
D 为AC 边的中点，证明：2
BD =．
18．已知正项数列{}n a 中，2
113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥．
(1)求{}n a 的通项公式；(2)若2n
n n
a b =
，
求{}n b 的前n 项和n T ．19．如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD AB ⊥，
222DC AD AB a ===，PA PD =，二面角P AD B --的大小为135︒，点P 到底面ABCD
的距离为
2
a
．
(1)过点P 是否存在直线l ，使直线l ∥平面ABCD ，若存在，作出该直线，并写出作法与理由；若不存在，请说明理由；
(2)若2PM MC =
，求点M 到平面PAD 的距离．
20．某商场在促销活动期间，规定凡是在该商场购买500元及以上的顾客可参与抽奖活动，活动规则如下：每个顾客在一个标有1，2，3，4，5，6的均匀圆盘上转动三次，若指针出现一次或两次指向“4”，则该顾客可获得商场返还购买金额的30%；出现三次指向“4”，该顾客可获得商场返还购买金额的50%；否则不返还金额．某顾客在此商场促销活动期间票据单上总购买金额为800元．(1)求该顾客参与活动后恰好返还240元的概率；
(2)设该顾客参与活动后，最终支付商场的金额为Y ，求Y 的分布列与数学期望．（四舍五入取整数）
21．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>右顶点为A ，上顶点为B ，过A ，B 两点的直线平
分圆2
2(1)12x y ⎛-+-= ⎝⎭
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若直线:l y x m =+与E 相交于C ，D 两点，且点(0,3)M m ，当CDM V 的面积最大时，求直线l 的方程．
22．已知函数2()ln 2()f x x ax a =++∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)当1a =-时，证明：函数()f x
有且仅有两个零点12,x x ，且12x x +>
答案第1页，共17页
参考答案：
1．D
【分析】根据复数的运算化简复数z ，即可得z 的虚部.
【详解】因为(i 1)i 13i z ++=+，所以()()()()
212i 1i 12i 1i 2i 2i 3i 31
i i 1i 11i 2222z +-+-+-+=
====+++-，所以z 的虚部为1
做梦梦到血2.故选：D.2．B
【分析】先用列举法表示集合A ，再用交集的定义求出结果即可.
【详解】解：因为{}
{}{
}2
Z 340Z 140,1,2,3A x x x x x =∈--<=∈-<<=，又有{}2,1,0,2,3B =--，所以{}0,2,3A B = .故选：B 3．D
【分析】根据已知向量坐标，求投影向量公式求解即可.
【详解】因为(2,1),(1,3)a b =-=
，所以()245a b += ，
，(2,1)a =- ，向量2a b +
在向量a 方向上的投影向量为
(
)
()23632,1,555a b a a a
a +⋅⎛⎫⨯==-=- ⎪⎝⎭
.
故选：D.4．B
【分析】由题意可得()()2211221n n n n a a a a +----=，所以{}2
12n n a a +-构成以1为首项，1为公
差的等差数列，由等差数列的通项公式即可得出答案.
【详解】由()22
112212n n n n a a a a n +--=-+≥得，当2n ≥时，()()22
中国十大名菜11221n n n n a a a a +---
-
=，
且由211a a ==，得2
2121a a -=，
所以{}212n n a a +-构成以1为首项，1为公差的等差数列，所以2
12n n a a n +-=，
所以2
2023202222022a a -=.
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