立体几何
【重点内容】1、空间几何体的性质及应用：长方体 (正方体)、棱柱、棱锥
2、复杂三视图识别
3、球体的性质及应用
4、空间位置关系：平行、垂直
5、空间数量关系：夹角 (线与线、线与面) ；距离(点到平面距离)
6、展开、裁切、折叠、拼接等
7、动点、动线的最值与范围问题
一、空间关系的判断与计算
(1) 异面直线夹角：平移是要点
(2) 直线与平面所成的角：
定义：直线与直线在平面内的射影所成的角
性质：① 平移不改变角 (线平移；面平移)美容院店名大全
防火材料② 线面角是线与平面内的线的夹角的最小值 { <l ，ɑ>=min{<l ，m > | m ⊆ɑ}}
cos θcos ɑ=cos β
(3) 点到平面距离 (棱柱棱锥的高)：垂线长
性质：平移不改变距离 (若ɑ∥β，A 、B 在β内，则A 、B 到ɑ的距离相等内)
正方体展开图11种图片(4) 体积计算： ① 高的计算
② 等体积法 (三棱锥)
③ 分割
(5) 射影关系：① 线面垂直
② 面面垂直
【典型例题】
例1.1直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )．
A ．
110 B ．25 C
．10 D
．2
例1.2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =
，当动点E 、F 从B 1端向D 1端运动时，三棱锥A —BEF 的体积( )
A.先变大后变小
B.先变小后变大
躲春2022具体时间C. 为定值
D.为定值
2212
112
2
为.
例1.4 已知正四棱锥S—ABCD中，SA＝，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为.
例1.5 (2016全国1卷文科) 已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，P A=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为E，设E在平面P AC内的正投影为F
(1) 在图中作出F(说明作法及理由)
(2) 求四面体PDEF的体积．
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例1.6 如图，在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，AB=2，AC＝BC＝23，PC＝4，则三棱锥P—ABC 的体积为.
例1.7 (综合能力提升) 如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2. 若AD＝6，且AB＋BD＝AC＋CD＝8，则四面体ABCD的体积的最大值是__________．
3
2
二、长方体(正方体)的研究与应用
1、长方体(正方体) 的基本要素与性质：
棱(12条)；面(6个)；
面对角线(6条)、体对角线(4条)；
对角面(2个)；三角截面(8个)
(1) 长度：设棱长为a、b、c，面对角线为x、y、z，体对角线为l
则：l2=a2+b2+c2=
(2) 垂直与投影：
母亲节英语作文(3) 平行与夹角：3条棱、3个面
常用结论：(1) 设体对角线与三条棱所成角分别为ɑ、β、γ，则cos2ɑ+cos2β+cos2γ= 对正方体：ɑ=β=γ，
(2) 设体对角线与3个面所成角分别为ɑ、β、γ，则cos2ɑ+cos2β+cos2γ=
对正方体：ɑ=β=γ，
(4) 正方体的三角截面：(8个)
(1) 两两平行的正三角形
(2) 2个相互平行的三角截面与1条体对角线垂直，三等分体对角线
(3) 与三条棱所成角相等；(与所有棱所成夹角相等)
与三个面所成二面角(锐角)相等；(与所有面所成二面角相等或互补) 2、长方体(正方体) 的应用：
(1) 三视图的恢复
(2) 补全法：外接球、体积等
(3) 平移法：夹角的计算、距离的计算
(4) 截面的研究
【典型例题】
例2.1 设长方体ABCD-A1B1C1D1，
(1) 若AC1 与BC、DD1所成的角分别为60°、45°，则AC1 与A1B1所成的角为
(2) 若AC1 与平面ABCD和平面ABB1A1所成的角为30°、45°，则AC1 与平面ADD1A1所成的角为
(3) 设AC=6，AB1=8，AD1=10，则长方体外接球的面积为.
(4) 设AC=6，AB1=8，AD1=10，甲球与长方体各个面都相切，乙球长方体的各条棱都相切，丙球过长方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为_____
(5) 若AB=AD=4，AA1=2，则点A1到平面AB1D1的距离为.
(6) AB=AD=4，AA1=2，四面体ACD1B1的外接球与内切球的半径之比为
例2.2 几何体甲的三视图如图所示，几何体乙的三视图除了侧视图比甲的侧视图少一条虚线外，其他都与甲的三视图完全一样，则甲与乙的体积的比值为.
例2.3 (2014全国新课标1卷理12题) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的所有棱中，最长的棱长为．
例2.4 (2008全国新课标12题) ，在该几何体的正视图、俯视图和侧视图，该棱的投
影是长度为a、b的线段，则a+b的最大值为.
例2.5 (2016全国新课标1卷理科11题)平面ɑ过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，ɑ∥平面CB1D1，ɑ∩ 平面ABCD=m，ɑ∩ 平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为.
例2.6 (2017全国新课标3卷理科12题) a，b为空间中两条相互垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以AC为轴旋转，有以下结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°
④直线AB与a所成角的最大值为60°
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