基⾦的⾦额加权收益率（MWRR）和时间加权收益率（TWRR）背景介绍
基⾦的收益和收益率计算⾄少包括两个维度的概念：
基⾦本⾝的收益计算：即基⾦经理管理的整个基⾦资产的收益计算，所计算的主体是基⾦资产。普通基⾦的收益需根据基⾦业协会制定的《中国基⾦估值标准》，由基⾦管理⼈及基⾦托管⼈分别计算。普通投资者看到的基⾦收益体现在基⾦净值（净值型基⾦）或万份收益（货币基⾦）的变动上；
基⾦投资者的收益计算：即投资者所投资的基⾦持仓的收益计算，所计算的主体是客户持有的基⾦，⼀般由基⾦销售机构或投资者⾃⾏计算；
在基⾦的分红中已通过例⼦说明，投资者的收益与基⾦本⾝收益没有必然的联系。
基⾦的总投资收益可分为：
当前持仓资产的公允价格/公允价值变化产⽣的浮动收益，在基⾦估值标准中称为“公允价值变动损益”；
未实现收益，也叫浮动收益，即当前持仓资产
已经卖出资产实现的价差收益，在基⾦估值标准中称为“投资收益”。如基⾦分红就可以当作投资收益（股利收
已实现收益，即股利收益或已经卖出资产
益）；
总投资收益公式：
教师节快乐英文投资收益=未实现收益+已实现收益
本⽂主要介绍基⾦视⾓和投资者视⾓的总投资收益和收益率的计算。
投资收益率的简单公式
不考虑基⾦的认购/申购/赎回/分红/折算等，期末市值等于期初市值乘以（1+r ）：
收益率为：
uv是什么
其中，VE 为期末权益/市值，VS 为期初权益/市值。
举例：
某投资者持有基⾦100份，5.21⽇基⾦单位净值为1.0100元，5.22⽇单位净值为1.0200元。
5.21⽇到5.22⽇的收益率r=（100*1.0200-100*1.0100）/（100*1.0100）=0.99%。
上述公式没有考虑外部现⾦流（External Flows）的影响。
何为外部现⾦流？将投资者的基⾦持仓（不包括现⾦）或基⾦的整体资产看作⼀个整体，从外部流⼊的现⾦或资⾦可以视为外部现⾦流。当发⽣外部现⾦流时，需要考虑外部现⾦流的⼤⼩和流⼊时间，⽅可正确计算收益率。
简单内部收益率（Simple Internal Rate of Return）
为考虑外部现⾦流对收益率的影响，上述公式变为：
可以将该公式理解为累计的外部现⾦流C 在收益率计算区间的中点流⼊，并与期初资产⼀样按照收益率r 产⽣收益，达到期末资产净值VE 。
简单Dietz⽅法（Simple Dietz Method）
简单内部收益率公式为超越函数，需通过数值法迭代计算，⼿⼯计算较复杂。考虑到该公式的⼀个隐含含义为“复利”，因此若假设为“单利”，则上述公式可以简化为：少先队员申请书怎么写?
演算过程为：
举例：
5.21⽇某投资者持有某基⾦100份，5.22⽇申购1020元（此处为投资者视⾓的收益率，不考虑申购费）。
收益率r=(1133-101-1020)/(101+1020/2)=1.96%。
投资收益
收益率公式的分⼦可以理解为投资收益，分母可以理解为等效投资成本，则投资收益公式为：
当发⽣申购时现⾦流流⼊Cp，发⽣赎回时现⾦流流出Cr，分红时现⾦流流出Ci ，总现⾦流为：
假设期初持仓为0，得到：
即为基⾦单位净值、申购和投资收益⼀⽂中的收益计算公式。
修正内部收益率法（Modified Internal Rate of Return）
ate of Return）
修正内部收益率法（Modified Internal R
以上两个公式均假设外部现⾦流在区间中点流⼊，如果不满⾜这个条件或者想计算更准确的收益率，应如何计算？
根据简单内部收益率法，可以推测：如果将每次的现⾦流均以收益率r 产⽣收益，则收益率公式变为：
其中，
Ct 为每次的外部现⾦流，TD为整个计算周期的天数，Dt 为期初到发⽣现⾦流的天数（包括⾮交易⽇）。
修正Dietz⽅法（Modified Diets Method）
同样的，该函数为超越函数，将“复利”改为“单利”，可以得到：
演算过程为：
举例：
5.21⽇某基⾦净资产为101万，5.22⽇外部投资者申购流⼊1020万元，5.25⽇外部投资者申购流⼊1030万元（此处为基⾦视⾓的收益率，5.23和5.24为⾮交易⽇）。
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1.假设外部现⾦流在盘前流⼊（基⾦经理可将该笔资⾦⽤作当天投资），则：
收益率r=(2205-101-1020-1030)/(101+1020*5/6+1030*2/6)=4.17%。
其中，外部现⾦流1020的时间权重为5/6（即基⾦经理只有5.22-5.26号5天可将该笔资⾦⽤作投资），外部现⾦流1030的时间权重为2/6（即基⾦经理只有5.25-5.26号2天可将该笔资⾦⽤作投资）。
2.假设外部现⾦流在盘后流⼊（可⽤作第⼆天投资），则：
收益率r=(2205-101-1020-1030)/(101+1020*4/6+1030*1/6)=5.67%。
其中，外部现⾦流1020的时间权重为4/6（即基⾦经理只有5.23-5.26号4天可将该笔资⾦⽤作投资），外部现⾦流1030的时间权重为1/6（即基⾦经理只有5.26号1天可将该笔资⾦⽤作投资）。
外部现⾦流的判断
在实际计算中，⼀笔交易是否应当做外部现⾦流应根据实际情况判断。
案例1，基⾦本⾝收益率计算：某基⾦期初资产为现⾦1000万元，基⾦经理使⽤基⾦资产中的现⾦申购其他基⾦200万。由于使⽤的现⾦属于基⾦本⾝资产的⼀部分，计算⾦额加权收益率时，申购资⾦不当做外部现⾦流。
案例2，投资者收益率计算：投资者银⾏账户有10万元，从该银⾏账户⽀付申购款10万元，由于申购的资⾦不属于客户的基⾦持仓，因此计算投资者基⾦持仓的⾦额加权收益率时，应当做外部现⾦流处理。
时间加权收益率（Time-Weighted Rate of Return (TWRR)）
以上公式均属于⾦额加权收益率（Money-Weighted Rate of Return (MWRR)或Dollar-Weighted Rate of Return）。
时间加权收益率计算每个发⽣现⾦流变动的⼦区间的收益率，并将不同区间的收益率连乘得到总收益率。
假设每个区间的现⾦流在期末流⼊，则时间加权收益率为：
如果令：
则可以简记为：
假设现⾦流在期初流⼊，则公式为：
假设现⾦流在区间中点流⼊，每个区间的收益率为：
对应时间加权收益率为：
因此，现⾦流流⼊的时间不同，收益率公式的形式略有不同，以准确反映现⾦流特点。
时间加权收益率要求每次发⽣现⾦流时都需对基⾦进⾏估值，⽽⾦额加权收益率只需在需要时计算⼀次，因此时间加权收益率⼀定程度上增加了基⾦的运营成本。这也是很多定期开放基⾦在⾮开放交易⽇不进⾏估值，但均会在开放⽇估值的原因。
假设NAVi 为基⾦在第i 天的单位净值，则其时间加权收益率为：
时间加权收益率概念也是基⾦的累计单位净值和复权单位净值⼀⽂中使⽤复权单位净值增长率计算基⾦（时间加权）收益率的理论基础。国内的每天开放申赎的开放式基⾦⼀般均会在每个交易⽇估值，因此可通过每天净值数据计算任意区间时间加权收益率。
⾦额加权收益率与时间加权收益率的⽐较
1.对投资者来讲，⾦额加权收益率可以反映投资者投资的主动择时效果，时间加权收益率⽆法反映。
举例：
两个投资者投资相同基⾦相同⾦额，如果投资者甲在低点买⼊⾼点卖出，投资者⼄在⾼点买⼊低点卖出，则投资者甲的⾦额加权收益率更⾼。
2.投资者的⾦额加权收益率可与该投资者或其他投资者的其他投资收益率做直接对⽐，以评估投资效果，⽽时间加权收益率⽆法直接对⽐。
举例：
某投资者2019年投资某基⾦的⾦额加权收益率为3.68%，投资某银⾏理财产品的收益率为3.81%，则可以认为2019年整体看来，该银⾏理财产品的收益率更⾼。
3.从投资经理⾓度来看，由于外部投资者可能在不同时间投⼊不同⾦额（通过申购等形式），投资经理⽆法控制外部现⾦流及其对⾦额加权收益率的影响，因此为评价不同基⾦及其基⾦经理的投资表现，应采⽤时间加权收益率⽽⾮⾦额加权收益率，以剔除外部现⾦流的影响。
4.采⽤⾦额加权收益率时，所有不同时间流⼊流出的现⾦流收益率均为r ，⽆法计算区间内不同时间段的收益率。如果基⾦每天均进⾏估值，通过时间加权收益率可以灵活计算不同区间的收益率。
根据基⾦单位净值计算的时间加权收益率与内部计算的时间加权收益率异同
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从投资者⾓度，假设投资者在T⽇申购某基⾦1万元，T⽇单位净值1元。不考虑申购费，T+1⽇确认1万份。如果T+1⽇单位净值为1.1元，则T+1⽇收益为1000元，收益率为10%。
从基⾦的⾓度，T⽇投资者申购的1万元⼀般在T+2⽇交收给基⾦账户，基⾦经理可能在T+3⽇才能运⽤这笔资⾦。
因此，投资者在T+1⽇获得的收益并不是投资者投⼊的1万元所产⽣，⽽是其他已有投资者的资产所产⽣的收益。
对基⾦经理⽽⾔，根据实际现⾦流到账⽇期计算的时间加权收益率⽐根据单位净值计算的时间加权收益率更能准确反映投资经理的投资效果。
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