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2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分150分.考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效.
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件独立，那么P(AB)=P(A)·P(B).
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数z满足其中i为虚数单位，则z= （ ）
A. | B. |
C. | D. |
2. 设集合，则 （ ）
A. | B. |
C. | D. |
3. 某高校调查了名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （ ）
A. 56 | B. 60 |
C. 120 | D. 140 |
4. 若变量，满足则的最大值是 （ ）
怎么排湿气吃什效果好A. 4 | B. 9 | C. 10 | D. 12 |
5. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为
（ ）
A. | B. |
C. | D. |
6. 已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的 （ ）
A. 充分不必要条件 |
B. 必要不充分条件 |
C. 充要条件 |
D. 既不充分也不必要条件 |
7. 函数的最小正周期是 （ ）
A. | B. |
C. | D. |
8. 已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，<m,n>=，若n(m+n)，则实数的值为 （ ）
A. | B. |
C. | D. |
9. 已知函数的定义域为．当时，；当时，=；当时，.则= （ ）
A. | B. |
C. | D. |
10. 若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是 （ ）
A. | B. |
C. | D. |
第II卷（共100分）
二、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值分别为9960和9，则输出的的值为 .
12. 若的展开式中的系数是，则实数________.
13. 已知双曲线.矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是_______.
14. 在上随机的取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为_______.
15. 已知函数其中.若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_______.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16. （本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，已知.
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)求的最小值.
17. （本小题满分12分）
在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线.
(Ⅰ)已知分别为的中点.求证：平面；
(Ⅱ)已知，求二面角的余弦值.
18. （本小题满分12分）
已知数列的前项和，是等差数列，且.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令，求数列的前项和.
19. （本小题满分12分）
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(Ⅱ)“星队”两轮得分之和的分布列和数学期望.
20. （本小题满分13分)
已知.
(Ⅰ)讨论的单调性；
(Ⅱ)当时，证明对于任意的成立.
21. （本小题满分14分)
平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为.直线与过且垂直于轴的直线交于点.
（ⅰ）求证：点在定直线上；
（ⅱ）直线与轴交于点,记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标.
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】设，，则，，，，．
【提示】设出复数，通过复数方程求解即可．
【考点】复数代数形式的乘除运算
2.【答案】C
【解析】，，，，．
【提示】求解指数函数的值域化简，求解一元二次不等式化简，再由并集运算得出答案．
【考点】并集及其运算
3.【答案】D
【解析】由频率分布直方图可知：组距为2．5，故这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的频率为：，人数是人．
【提示】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22．5小时的频率，进而可得自习时间不少于22．5小时的频数．
【考点】频率分布直方图
4.【答案】C
【解析】作图：
可见当取点时取最大值，最大值为．
【提示】由约束条件作出可行域，然后结合的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得的最大值．
【考点】简单线性规划
5.【答案】C
【解析】由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的，
体积为．
【提示】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．
【考点】由三视图求面积、体积
6.【答案】A
【解析】若直线相交，一定有一个交点，平面一定有一条交线，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意．
【提示】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
7.【答案】B
【解析】，最小正周期．
【提示】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．
【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法
8.【答案】B
【解析】，，，，，，，．
【提示】若，则，进而可得实数的值．
【考点】平面向量数量积的运算
9.【答案】D
【解析】当时，，既，周期为1，；当时，，且，，．
【提示】求得函数的周期为1，再利用当时，，得到，当时，，得到，即可得出结论．
【考点】抽象函数及其应用
10.【答案】A
【解析】（A）函数的特征是存在两点切线垂直，既存在两点导数值相乘为；
（B）选项中的导数是恒大于，斜率成绩不可能为；
（C）选项中的导函数恒大于，斜率成绩不可能为；
（D）选项中的导函数恒大于等于，斜率成绩不可能为．
【提示】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为，进而可得答案．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
第Ⅱ海德堡大学世界排名卷
二、填空题
11.【答案】3
【解析】输入的，的值分别为0和9，．第一次执行循环体后：，，不满足条件，故；第二次执行循环体后：，，不满足条件，故；第三次执行循环体后：，，满足条件，故输出的值为3．
【提示】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【考点】程序框图
搜狗私有化完成12.【答案】
【解析】，，数字媒体技术专业学什么，的系数为，．
【提示】利用二项展开式的通项公式，化简可得求的的系数．
【考点】二项式系数的性质
13.【答案】2
【解析】令，代入双曲线的方程可得，由题意可设，，，，由，可得，即为，由，，可得，解得．
【提示】可令，代入双曲线的方程，求得，再由题意设出，，，的坐标，由，可得，，的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【考点】双曲线的简单性质
14.【答案】
【解析】直线与圆相交，所以圆心到直线距离小于半径，
，，，，．
【提示】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．
【考点】几何概型
15.【答案】
【解析】当时，函数的图象如下：
时，，要使得关于的方程有三个不同的根，必须，即，解得，的取值范围是．
【提示】作出函数的图象，依题意，可得，解之即可．
【考点】根的存在性及根的个数判断
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ）由得：，
两边同乘以得，，
，即①，根据正弦定理，，，，，带入①得，
．
（Ⅱ），
，，且，当且仅当时取等号，
又，，，
由余弦定理，
的最小值为．
【提示】（Ⅰ）由切化弦公式，，带入并整理可得，这样根据两角和的正弦公式即可得到，从而根据正弦定理便可得出；
（Ⅱ）根据，两边平方便可得出，从而得出，并由不等式，得出，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出的范围，进而便可得出的最小值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，余弦定理
17.【答案】（Ⅰ）取中点，连结、，
、为、的中点，
且，，
又且，
且，
平面平面，
面，
平面．
（Ⅱ），
，又面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，由题意可知面的法向量为，设为面的法向量，则，即，取，则，
，
二面角的平面角是锐角，
二面角的余弦值为．
【提示】（Ⅰ）取中点，连结、，推导出平面平面，由此能证明平面，（Ⅱ）由，知，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定
18.【答案】（Ⅰ），时，，
时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（Ⅱ），
①，
②，
①②可得：
．
【提示】（Ⅰ）求出数列的通项公式，再求数列的通项公式；
（Ⅱ）求出数列的通项，利用错位相减法求数列的前项和．
【考点】数列的求和，数列递推式
19.【答案】（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，
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