2016年高考理科数学山东卷(含答案解析)
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷
理科数学
本试分第卷和第Ⅱ卷两部分,共6页,满分150.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项:
1. 答题前,考生务必用0.5毫米黑签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式:
如果事件互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件独立,那么P(AB)=P(AP(B).
卷(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数z满足其中i为虚数单位,则z=                        (  )
A.
B.
C.
D.
2. 设集合                    (  )
A.
B.
C.
D.
3. 某高校调查了名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是,样本数据分组为.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是                                                        (  )
A. 56
B. 60
C. 120
D. 140
4. 若变量满足的最大值是                            (  )
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B. 9
C. 10
D. 12
5. 一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示则该几何体的体积为   
                                                                            (  )
A.
B.
C.
D.
6. 已知直线分别在两个不同的平面内,则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的                                                        (  )
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A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 函数的最小正周期是                    (  )
A.
B.
C.
D.
8. 已知非零向量mn满足4|m|=3|n|,<m,n>=,若n(m+n),则实数的值为                                                                        (  )
A.
B.
C.
D.
9. 已知函数的定义域为.当时,;当时,=;当时,.=                                    (  )
A.
B.
C.
D.
10. 若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有性质.下列函数中具有性质的是                        (  )
A.
B.
C.
D.
II卷(共100分)
二、选择题:本大题共5小题,每小题5分,共25.
11. 执行如图所示的程序框图,若输入的的值分别为99609,则输出的的值为      .
12. 的展开式中的系数是,则实数________.
13. 已知双曲线.矩形的四个顶点在上,的中点为的两个焦点,且,则的离心率是_______.
14. 上随机的取一个数,则事件“直线与圆相交”发生的概率为_______.
15. 已知函数其中.若存在实数使得关于的方程有三个不同的根,则的取值范围是_______.
三、解答题:本大题共6小题,共75.
16. (本小题满分12分)
中,角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)求的最小值.
17. (本小题满分12分)
在如图所示的圆台中,是下底面圆的直径,是上底面圆的直径,是圆台的一条母线.
(Ⅰ)已知分别为的中点.求证:平面
(Ⅱ)已知,求二面角的余弦值.
18. (本小题满分12分)
已知数列的前项和是等差数列,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ),求数列的前项和.
19. (本小题满分12分)
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(Ⅱ)“星队”两轮得分之和的分布列和数学期望.
20. 本小题满分13分)
已知.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,证明对于任意的成立.
21. (本小题满分14)
平面直角坐标系中,椭圆的离心率是,抛物线的焦点的一个顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
()设上的动点,且位于第一象限,在点处的切线交于不同的两点,线段的中点为.直线与过且垂直于轴的直线交于点.
)求证:点在定直线上;
)直线轴交于点,记的面积为的面积为,求的最大值及取得最大值时点的坐标.
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学答案解析
一、选择题
1.【答案】B
【解析】
【提示】设出复数,通过复数方程求解即可
【考点】复数代数形式的乘除运算
2.【答案】C
【解析】
【提示】求解指数函数的值域化简,求解一元二次不等式化简,再由并集运算得出答案
【考点】并集及其运算
3.【答案】D
【解析】由频率分布直方图可知:组距为2.5,故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为:人数是
【提示】根据已知中的频率分布直方图,先计算出自习时间不少于22.5小时的频率,进而可得自习时间不少于22.5小时的频数
【考点】频率分布直方图
4.【答案】C
【解析】作图:
可见当取点时取最大值,最大值为
【提示】由约束条件作出可行域,然后结合的几何意义,即可行域内的动点与原点距离的平方求得的最大值
【考点】简单线性规划
5.【答案】C
【解析】由三视图可知,此几何体是一个正三棱锥和半球构成的,
体积为
【提示】由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个半球,下部是一个四棱锥,进而可得答案.
【考点】由三视图求面积、体积
6.【答案】A
【解析】若直线相交,一定有一个交点,平面一定有一条交线,所以是充分条件;两平面相交,平面内两条直线关系任意
【提示】根据空间直线与直线,平面与平面位置关系的几何特征,结合充要条件的定义,可得答案
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
7.【答案】B
【解析】,最小正周期
【提示】利用和差角及二倍角公式,化简函数的解析式,进而可得函数的周期
【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数的周期性及其求法
8.【答案】B
【解析】
【提示】,则,进而可得实数的值
【考点】平面向量数量积的运算
9.【答案】D
【解析】时,,既,周期为1,时,,且
【提示】求得函数的周期为1,再利用当时,,得到,当时,,得到,即可得出结论
【考点】抽象函数及其应用
10.【答案】A
【解析】(A函数的特征是存在两点切线垂直,既存在两点导数值相乘为
B选项中的导数是恒大于,斜率成绩不可能为
C选项中的导函数恒大于,斜率成绩不可能为
D选项中的导函数恒大于等于,斜率成绩不可能为
【提示】若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则函数的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为,进而可得答案
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
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二、填空题
11.【答案】3
【解析】输入的的值分别为0和9,.第一次执行循环体后:,不满足条件,故;第二次执行循环体后:,不满足条件,故;第三次执行循环体后:,满足条件,故输出的值为3.
【提示】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,可得答案
【考点】程序框图
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12.【答案】
【解析】数字媒体技术专业学什么的系数为
【提示】利用二项展开式的通项公式,化简可得求的的系数
【考点】二项式系数的性质
13.【答案】2
【解析】,代入双曲线的方程可得由题意可设,由,可得,即为,由,可得,解得
【提示】可令,代入双曲线的方程,求得,再由题意设出的坐标,由,可得的方程,运用离心率公式计算即可得到所求值
【考点】双曲线的简单性质
14.【答案】
【解析】直线与圆相交,所以圆心到直线距离小于半径
【提示】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交,可求出满足条件的,最后根据几何概型的概率公式可求出所求
【考点】几何概型
15.【答案】
【解析】时,函数的图象如下:
时,要使得关于的方程有三个不同的根,必须,即,解得的取值范围是
【提示】作出函数的图象,依题意,可得,解之即可
【考点】根的存在性及根的个数判断
解答
16.【答案】(Ⅰ)得:
两边同乘以
,即根据正弦定理,,带入
(Ⅱ)
,且当且仅当时取等号
由余弦定理
的最小值为
【提示】(Ⅰ)由切化弦公式,带入并整理可得,这样根据两角和的正弦公式即可得到,从而根据正弦定理便可得出
(Ⅱ)根据,两边平方便可得出,从而得出,并由不等式得出,也就得到了,这样由余弦定理便可得出,从而得出的范围,进而便可得出的最小值
【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦定理余弦定理
17.【答案】(Ⅰ)中点,连结
的中点,
平面平面
平面
(Ⅱ)
,又
为原点,轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,则,由题意可知面的法向量为,设为面的法向量,则,即,取,则
二面角的平面角是锐角,
二面角的余弦值为
【提示】(Ⅰ)中点,连结,推导出平面平面,由此能证明平面,(Ⅱ),知,以为原点,轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值
【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行的判定
18.【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
②,
②可得:
【提示】(Ⅰ)求出数列的通项公式,再求数列的通项公式;
(Ⅱ)求出数列的通项,利用错位相减法求数列的前项和
【考点】数列的求和数列递推式
19.【答案】(Ⅰ)星队至少猜对3个成语包含甲猜对1个,乙猜对2个甲猜对2个,乙猜对1个甲猜对2个,乙猜对2个三个基本事件,

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