第八讲 三角形的重心
第八讲  三角形的重心、垂心、外心和内心
初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。本节将对这些知识作较系统的阐述。
一、三角形的重心
如图8-1，在△ABC中，AD、BD是两条中线，记它们的交点为G，连接DE、DE是三角形的中位线。
∴DE∥AB，且
∴∠GAB=∠GDE，∠GBA=∠GED.
∴△AGB∽△DGE，且相似比为2：1.
∴AG=2GD，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。
如图8-2，设△ABC的两条中线AD、BE交于G，中线CF、BE交于G′.由已知的三角形中线的
性质，则有BG=2GE，且BG′=2G′E，CG′=2G′F.
∴G′与G重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为2：1的两段，这个交点称为三角形的重心。三角形的重心必在三角形的内部。今后我们也常说：三角形的重心把中线分成2：1的两段。
例1  如图8-3，已知E、F分别是平行四边形ABCD边AD、CD的中点，BE和BF分别交对角线AC于M、N，求证：AM=MN=NC。
分析 四边形问题常转化为三解形问题，连接BD，则BE、BF分别为△ABD、△CBD的中线，再利用中线、重心的性质问题，则问题迎刃而解。
证明 连接BD，BD与AC交于O，根据平行四边形性质，O为BD的中点。∵E为AD的中点，∴M是△ABD的重心，∴AM=2MO。
同理，CN=2NO，则，由于AO=CO，∴
例2  求证：两条中线相等的三角形是等腰三角形。
已知：△ABC中，中线BE=CD
求证：△ABC是等腰三角形
证明：如图8-4，设中线BE、CD交于G，则G为△ABC的重心。∴ ∵BE=CD，∴GB=CG
则∠GBC=∠GCB（同一三角形中，等边对等角）
又BC为△BEC和△CBD的公共边，
∴△EBC≌△DCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC
图8-5
故△ABC是等腰三角形。
一般地，涉及三角形中两条或三条中线关系的问题，应考虑利用三角形重心及其性质来解。
二、三角形的垂心
下面来研究三角形三条高所在直线的关系。
如图8-5，锐角三角形ABC中，BC、AC上的高AD、BE交于H。试问：AB上的高是否也过点H？
回答是肯定的。连接CH并延长交AB于F，现在来证明CF就是AB上的高。
∵∠CEH=∠CDH=90°，∴以CH为直径作圆，D、E在这圆上，∴∠BCF∠DEB（对同弧）。
同理，D、E也在以AB为直径的圆上，∠DEB=∠DAB，∴∠BCF=∠DAB
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又在△BCF、△BAD中，∠B为共公角，∴∠CFB=∠ADB=90°，即CF⊥AB，CF为AB上高。
则△ABC的三条高AD、BE、CF交于一点H。对于锐角三角形来讲，这交点一定位于三角形内部。
图8-6
如图8-6，Rt△ABC中，∠C=90°，BC、AC上高是AC、BC，显然AB上高CF与前两条高相交于点C。
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读者可以证明，钝角三角形的三条高在直线也相交于一点，这交点在三角形外部。
我们把三角形三条高或其延长线的交点称为三角形的垂心。锐角三角形垂心在三角形形内；直角三角形垂心为这三角形的直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形形外（如图8-7所示）。
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图8-7
例3  如图8-8，△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H为△∠ABC的垂心，求∠BHC的度数。
解  延长BH、CH分别交AC、AB于D、E
∵H为△ABC的垂心，∴∠ADB=∠AEC=90°
图8-8
在四边形ADHE中，∠A=180°－∠ABC－∠ACB=78°，
∠BHC=∠DHE=360°－∠ADB－∠AEC－分付怎么开通∠A=102°
三、三角形的内心
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在初中阶段已经学习了三角表外心的知识。三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点称为三角形的外心，即三角形外接圆圆心。如图8-9所示，我们还知道，锐角三角形外心在三角形形内；直角三角形外心为直角三角形斜边中点；钝角三角形外心在三角形形外。
例4  如图8-10，等腰三角形ABC外心为O，O到△ABC底边BC的距离为a，到顶点A的距离为R，求△ABC的各边长。
解  ∵等腰三角形底边上的高与中线两线合一，
拍一拍设置文字∴等腰三角形外心O必在三角形底边上的高上，记高为AD，即O在AD上，连接OB，则OB=R，且已知OD=a，
在Rt△BOD中，，则
在Rt△ABD中，
∴△ABC的腰长为，底边长为。
例5  求证：连接三角形三边中点所得三角形的重心是原三角形的外心。
已知：△ABC各边中点D、E、F，连接ED、EF、FD。
求证：△EDF的垂心是△ABC的外心。
证明  如图8-11，设△DEF的垂心为O，连接OD、OE、OF，则OD⊥EF，OE⊥DF，OF⊥ED。

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