相似热门题型解题技巧整理
类型1 证比例式或等积式的技巧
方法指导：
证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．
题型1 构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为A中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，
求证：AE·CF＝BF·EC.
1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.
∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.
∴＝.
又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴＝.∵D为AB的中点，
∴＝.∴＝，即AE·CF＝BF·EC.
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，
试证明：AB·DF＝BC·EF.
2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，
∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.
∴＝，＝.
∵AD＝CE，∴＝.∴＝，
即AB·DF＝BC·EF.
点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．
题型2 三点三角形相似法
1．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.
求证：＝.
1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E，
∴△DAE∽△FCD，∴＝.
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.
求证：AM2＝MD·ME.
2．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA教师节送女教师什么礼物好＝90°.
∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.
又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.
∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.
又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.
∴＝.∴AM2＝MD·ME.
题型3 构造相似三角形法
1．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
1．证明：如图，连接PM，PN.
∵MN是AP的垂直平分线，
∴MA＝MP，NA＝NP.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.
∴∠2＋∠4＝60°.
∴∠5＋∠6＝120°.
又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.
∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.
∴＝，即BP·CP＝BM·CN.
题型4 等比过渡法
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.
求证：(1)△DEF∽△BDE；
(2)DG·DF＝DB·EF.
1．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE.
(2)由△DEF∽△BDE得＝，∴DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴＝，∴DE2＝DG·DF，∴DG·DF＝DB·EF.
2．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.
求证：CE2＝DE·PE.
2．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，
∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.
∴∠雪的诗句唯美P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.
∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.
∴＝，即AE·BE＝PE·DE.
又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.
牙齿松动怎么治又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.
∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.
∴＝，即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.
题型5 两次相似法
1．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.
求证：＝.
1．证明：易得∠BAC忘记时间 歌词＝∠BDF＝90°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，
∴△BDF∽△BAE，得＝.
∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.
∴△ABC∽△DBA，得＝，∴＝.
2．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：
(1)△AMB∽△AND；
(2)＝.
2．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形．∴∠B＝∠D.
∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°，
∴△AMB∽△AND.
(2)由△AMB∽△AND得＝，∠BAM＝∠DAN.
又AD＝BC，∴＝.
∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠AMB＝∠MAD＝90°.
∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°，
∴∠B＝∠MAN.
∴△AMN∽△BAC，∴＝.
题型6 等积代换法
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：＝.
1.证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.
又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得AD2＝AE·AB，同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴＝.
题型7 等线段代换法
1．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，
求证：BP2＝PE·PF.
1．证明：连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB，∴BP＝园林设计专业CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC，∴＝，即CP2＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.
2．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·PC.
2．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD.
∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.
又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴＝，
即PA2＝PB·PC，∴PD2＝PB·PC.
类型2 巧用“基本图形”探索相似条件
方法指导：
文强睡黄圣依的细节几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：
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