1.问题重述
目前多数高校都建立了学生对教师的评价系统。系统中，全体学生对自己的所有任课教师打分，综合评价该教师的教学情况。教师的评价分值一定程度上能够反映该教师的教学情况，但也存在其分值在全校中的排序和实际教学能力地位不相符的情形。
问题1：附录1为我校学生对教师课堂教学评价的调查问卷，试从各项评价指标中，出其中相关度较高的部分，将其整合为一个指标；对调查问卷中你认为不合理的部分，说出你的理由，并给出相应的处理方法。附录2为评价结果的计算公式，请对其合理情况进行评价。如果其中有不合理的部分，请加以修正，并说明理由。
问题2：教师之间除了自身的教学能力存在差异外，还有一些客观因素会使得教师的分值存在差异，比如同一名教师讲授两门不同的课程，由于课程讲授的难易程度不同，该教师所得的两个评价分值可能会有较大的差异，而这种差异很大程度上源于课程的原因，但是评价分值没有客观的反映这种差异。请尽可能多的出造成这种差异的因素，说明理由，并利用附录3中的部分数据检验你的猜想。
问题3：上述差异会造成教师评价分值客观上存在不同，但为了在同一种标准下衡量教师的教学能力，需要消除此差异，同时保证分值能客观反应该教师的教学水平，建立数学模型解决此问题。
问题4：完整的给出一份课堂教学评价方案，包括修正后的调查问卷和详细的计算公式。
问题5：所提出的评价方案是否还有缺陷，如果有，则指出这些不足，并提出修改意见。
附录2：评价结果的计算公式
综合分值=
式中分别为指标的权重与指标打分值，其中
其中表示该班选择选项的人数。
2.问题分析
2.1 问题1的分析
对于附录一给出的评价指标，由于评价指标分类较笼统，相关度不高，可以利用层次分析法通过相关程度来决定合并指标，去掉分类较笼统的指标改为具体化的指标便于学生打分。而所给公式中的权重分配也自然就暴露了它的不足，评分指标之间的权重差异很小，而且优良的量度分配不规则，比如公式中对由好到差5个层次的分值给定不合理。从以上方面我们结合相关资料可以整理出一套优化的调查问卷。
2.2 问题2的分析
对于问题二，结合实际与观察题目所给附录材料，根据日常经验可以发现一些显著的可能影响的因素，我们猜想的客观因素如下：
1. 教师的职称可能对最终评分有所影响。
2. 教师的年龄可能对最终评分有所影响。
3. 教师所教的课程难度可能对最终评分有所影响。
4. 评价学期可能对最终评分有所影响。
根据猜想，我们首先进行数据的筛选和分类处理，随机选取各类的点，利用Matlab画图并进行分析，最终便可以验证几个主要的因素。
2.3 问题3的分析
首先假定对某位老师不同学期不同课程的所有得分的均值能较好地衡量老师的教学能力。
有研究表明教师评价是多种因素综合影响的结果，包括教师的职称、课程难度等。职称和课程难度在教师评价过程中是两个不可控制的变量，要使教师不同学期不同课程的评价均分有可比性，必须剔除职称和课程难度对评价结果的影响。
于是我们引入职称和课程难度这两个协变量和教师课程得分为因变量，通过二元协方差分析，在剔除职称和课程难度之后，对教师不同学期不同课程的均分进行修正，用修正后的均分作为教师评价的标准对所有教师进行排名。由于在进行协方差分析时要进行误差回归
关系分析中要进行回归方程的显著性检验，由于数据的缺少，我们假定回归关系显著，在随后的教师均分校正的方差分析中作相同的假定教师校正均分有显著差异。
3.模型假设
1. 假设题目所给的数据真实可靠；
2. 假设评价者公平，客观，负责，无个人喜好和情绪的影响；
3. 假设每次评价都不会给被评教师带来针对性的改变；
4. 假设无外部因素的影响，比如教师的科研工作等；
5. 假设超过50%的学生认为某一课程难，那么该课程定性为难，否则为易。
4符号说明
权向量 | |
m | 教师个数 |
教师编号 | |
显著性水平 | |
协变量职称 | |
协变量课程难度 | |
y 跨年留言 | 因变量课程得分 |
| 00后明星还有多少惊喜 SS | 平方和 |
SP | 乘积和 |
df | 拟人句自由度 |
5模型建立与求解
5.1问题1的建模与求解
层次分析法是一种实用的多准则决策方法。它把一个复杂问题表示为有序的递阶层次结构，通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序，通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以决定决策诸因素相对重要性总的顺序。
对于问题1，可以划分出5个一级评价指标，分别是：教学态度（）、教学内容（）、教学方法（）、教学管理（）、教学效果（），这些指标设为层次系统中的准则层次或者是B层次。对于题中给出的调查问卷里的指标，首先将太笼统的指标第1项和第10项排除，将附录1 的剩下几项内容按照目标层5个分类通过相关层度进行划分，得到如下划分(图1)：
图1：教学评价递阶层次图
公式中给出的权向量的元素仅三种：1、0.8、1.2，而且分配不具有合理性和有效性，对于对应指标打分值的公式中不同评价级的分量分配也不合理，比如从“优秀，良好，一般，较差，很差”中选择“优”“良”“一般”三者之间相差1.1分，而“一般”和“较差”仅差0.1分，“较差”与“很差”以0.4分作为差距，这样的体系容易使一些较小的差别放大，导致评分不稳定。因此我们考虑将权向量优化为更合理的向量，在评价级的分量上做些调整。
利用层次分析法对于每一层次中各因素相对重要性的判断。这些判断通过引入合适的标度，用数值表示出来，形成判断矩阵。
判断矩阵的元素用的1—9标度方法给出，如表1：
表1 标度含义
标度 | 含义 |
1 | 精神残疾两元素比较，具有同样的重要意义 |
3 | 两元素比较，前者比后者稍重要 |
5 | 两元素比较，前者比后者明显重要 |
7 | 两元素比较，前者比后者强烈重要 |
9 | 两元素比较，前者比后者极端重要 |
2，4，6，8 | 表示上述相邻判断的中间值 |
他们的倒数 | 若元素i与元素j的重要性之比为，那么元素j与元素i的重要性之比为=1/ |
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由问题一给的5个一级指标给出的判断矩阵如表2：
表2 准则层对目标层的判断矩阵
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1 | 1/3 | 5 | 5 | 12 | |
3 | 1 | 7 | 4 | 1 | |
1/5 | 1/7 | 1 | 3 | 1/3 | |
1/6 | 1/4 | 1/3 | 1 | 1/4 | |
1/4 | 1 | 3 | 4 | 1 | |
利用matlab求解得到，可见该判断矩阵具有满意的一致性。因此确定准则层指标的权值如表5：
同理求取方案层的判断矩阵如表3：
表3：方案层对决策层的判断矩阵
利用matlab求解得到，可见该判断矩阵具满意的一致性。
进一步可以求得方案层(C层)对目标层（A层）的权重 对于分别为指标i(i=1,2…10)的指标打分值，将评分的5个等级优秀，良好，一般，较差，很差”，改为A、B、C、D四个等级，为了增加区分度，在相应等级内学生给予打分，分别为A（90-100）、B（80-89）、C（70-79）、D（60-69），对于各个等级分别赋予权重，在此同样应用判断矩阵
同理求出权重：即有
其中，例如在A等级内有第i个学生打分为，则。教师课程得分。考虑到有一个老师任多门课的情况，可将这些课程的得分取平均分作为该老师的最终分数。
5.2问题2的求解
根据表格列出的项目，可以初步猜想以下几个会对评分影响因素：教师年龄，评价的学期，性别，职称。
5.2.1 教师年龄的影响
为验证教师年龄对最终评分的影响，我们按照教师的出生年代，分为40后,50后,60后,70后,80后共五类，将每一类教师所得所有评分算出平均值，进行比较分析。所得数据如表4。
表4：相同出生年代教师所得均分
教师出生年代 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
平均得分 | 90.8155 | 90.9209 | 90.4429 | 89.5832 | 89.1888 |
用matlab绘制柱状图（图2），进行比较分析。
图2：相同出生年代教师所得均分
由上图表明，不同年龄段教师平均得分波动不大（方差为0.76812）。可知年龄对教师最终评价得分整体影响不大。
5.2.2 评价学期的影响
为了验证评价学期对教师最终评分的影响，我们随机选取了四名教师，对他们每一学期所教的所有课程得分取平均值，从而可以得出随着时间段的变化，所得分数的变化趋势，通过比较分析来判断评价的学期对教师评分是否有影响。
随机选出四名教师，算出逐年的平均得分，如表5：
表5：教师测评学期平均分
学期 教师 | 1 | 9 | 11 | 12 |
2004-2005-2 | 92.61 | 91.75 | 88.13 | 85.14 |
2005-2006-1 | 91.99 | 89.755 | 94.285 | 85.07 |
2005-2006-2 | 92.565 | 87.365 | 94.86 | 84.74 |
2006-2007-1 | 93.34 | 94.745 | 93，355 | 89.935 |
2006-2007-2 | 95.01 | 92.72 | 91.965 | 87.75 |
2007-2008-1 | 96.78 | 94.58 | 98.02 | 93.935 |
2007-2008-2 | 94.65 | 95.195 | 97.74 | 93.755 |
2008-2009-1 | 96.2 | 94.005 | 95.595 | 92.52 |
2008-2009-2 | 91.6567 | 96.87 | 95.52 | 92.93 |
用matlab画出折线图，如图3：
图3：教师得分走势
由以上四个图可看出，对于不同教师，学期均分变化趋势不同，评分差异由个人因素导致，从而，评分时间对评分结果无影响。
5.2.3 课程难度的影响
不同课程的难度不同，为了检验不同课程的难度对教师终评的影响，我们将一个老师所教的不同课程的平均分进行比较。并为了检验普遍性，我们针对各个职称段的老师，随机各选出一名，计算出他们所教各门课程所得评分的平均值。
选取的教师，比较课程，平均得分如表6。
表6：教师每门课所得均分
教师代码 课程 | 66 （教授） | 34 （副教授） | 28 （讲师） | 21 （助教） |
概率论与数理统计 | 90.055 | 87.325 | 90.26 | |
高等数学一 | 93.65 | 94.5325 | 88.42 | 91 |
高等数学二 | 94.57 | 93.54 | 90.6525 | 87.308 |
线性代数 | 89.29 | 86.795 | 88.75 | |
注1：表中空格表示，空格所在行的老师不教空格所在的课程。
注2：表中数据为该数据所在行老师不同时期所教该门课程所得评分的平均值。
用matlab进行单因素方差分析，结果如表7:
表7：单因素方差分析表
方差来源 | SS | df | MS（均方） | F | P(概率) |
因素 | 51.5027 | 3 | 17.1676 | 3.92 | 0.0436 |
误差 | 43.8139 | 10 | 4.3814 | ||
总和 | 95.3166 | 13 | |||
在显著性水平时，由matlab软件求得,所以不同课程难度对教师得分有显著性影响。
5.2.4 教师职称的影响
为了验证教师职称对最终评分的影响，将教师按职称分类：教授，副教授，讲师，助教，未定（教师）共五类。将每一类的老师所得所有分数算出平均数，得出下图
用matlab制图，绘图如下：
图4：不同职称教师所得均分
显而易见，高级职称教师相较低级职称教师得分整体得分高。而教授与副教授，讲师与副教授之间的差异可能有个人因素的影响。整体上来看，随着教师职称的升高，最终评分也升高。
通过查相关资料，我们了解到大学教师的职称，很多时候反应是科研能力和成果，而与教学水平是不一定成正比的。而学生在对老师进行评价时，对于高职称的教师会有潜意识的认可，认为他们职称高，教学经验丰富，专业能力强，而对于低职称的教师会因为他们资历浅，从而潜意识认为教学水平不如高职称教师。导致高职称教师整体评分偏高。所以，教师职称对学生的评分时有影响的。
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