高三开学收心考试模拟卷(原卷版)
高三开学收心考试模拟卷
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高中数学全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
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1．集合2
|13,|,A x x B y y x x A ，则A B ⋃=（） A ．[1,3]B ．[1,9]- C ．[0,3]D ．[1,9]
2．已知i 为虚数单位，若
()1i
R 1i
感恩教师节的话
m m +∈-是实数，则2i m +=（）
A ．2
B ．-2
C ．3．已知函数233?
年会唱什么歌好,
?0()3?,?0x x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩
，则不等式()()34f a f a >-的解集为（）
A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．()2,+∞
C ．(),2-∞
D ．1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
4．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且656cos a c b C =+，则cos B =（）
A ．78
B ．56
C ．34
D ．23
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5．已知||4,||1==a b ，且(23)3-⋅=a b b ，则向量,a b 夹角的余弦值为（）
A ．34-
B ．3
4
C ．56
D ．56-
6．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄，该方案将从正式实施开始每年延长
若出生年代为n ，且1，相应的退休年龄为n ，且1，则n 与n 的关系为（） A ．31781n n a b -=B ．32141n n a b +=C ．41721n n a b -=D ．42201n n a b +=
7．已知点F 是双曲线2
2
18
y x -=的右焦点，点P 是双曲线上在第一象限内的一点，且PF 与x 轴垂直，点Q
是双曲线渐近线上的动点，则PQ 的最小值为（）
A ．83
B ．83
C ．1
D ．1+8．如图，△ABC 为等腰直角三角形，斜边上的中线AD =3，
E 为线段BD 中点，将△ABC 沿AD 折成大小为π
2
的二面角，连接BC ，形成四面体C ABD -，若P 是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（） A ．点P 落在三棱锥E ABC -内部的概率为1
2
B ．若直线PE 与平面AB
C 没有交点，则点P 的轨迹与平面ADC  C ．若点P 在平面AC
D 上，且满足2PA PD =，则点P 的轨迹长度为
2π3
D ．若点P 在平面ACD 上，且满足2PA PD =，则线段PB 长度为定值
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（）
A ．2
n +的最小值为3B ．mn 的最大值为1
C 的最小值为2
D ．22m n +的最小值为2
10．如图，若111111ABCDEF A B C D E F -为正六棱台，113A B =，4AB =，12AA =则下列说法正确的是（） A ．11//AB E C B ．EC ⊥平面1ADD C ．1//AA 平面1CED D ．侧棱与底面所成的角为60
11．已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X 0=，a ，2，根据以往销售经验可得02a <<，随机变量
A ．13b =
B ．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为5
16
C ．min 1()2
D X =D ．当min ()D X 最小时，1
()3E X =
12．当121x x <<；时，不等式1
2
21e e 0x x
x x -<；成立．若e e a b >>，则（）
A ．e 1e e b b ->
B ．e e e a
a b b +<C ．e ln b a b a <D ．e ln a ab b >
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线()4R y ax a =+∈与曲线1
ln e y x x
=-相切，则=a ___________．
14．随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有2个完全相同的“冰墩墩”与甲、乙两位运动员随机站成一排拍照留念，则2个“冰墩墩”连在一起的概率为______；
15．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交点为K ，点A 在C 上，点A 的横坐标为2，
||3AF =，以F 为圆心且与直线AK 相切的圆的方程为_________．
16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0πϕ<<，π
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()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恰
有3个零点，则ω的取值范围是______________．济南旅游景点大全
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
17．（10分）
在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足πsin()cos 6⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭a A C b A ．
（1）求角A ；
（2）若3,5a b c =+=，求ABC 的面积． 18．（12分）
已知正项数列{}n a 满足11a =，且112n n n n a a a a ++-=．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记21n n a b n =+，求数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：11
32
n S ≤<．
19．（12分）
如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1=AB =AC =1，AB ⊥AC ，M ，N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上． （1）证明：PN ⊥AM ；
（2）当平面PMN 与平面ABC 所成的锐二面角为45°时，求平面PMN 与侧面A 1ACC 1的交线长． 20．（12分）
某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛，有A ，B ，C 三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答．A 类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分，C 类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小康同学能正确回答A
类问题的概率为0．8，能正确回答B 类问题的概率为0．6，能正确回答C 类问题的概率为0．4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小康按照CBA 的顺序答题，记X 为小康的累计得分，求X 的分布列；
（2）相比较小康自选的CBA 的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照ABC 的顺序答题累计得分期望更大，小乐的判断正确吗？并说明理由． 21．（12分）
已知椭圆C ：22221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为1
2，且经过点（1，32）．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）动直线l ：y =x +m 与椭圆C 相切，点M ，N 是直线l 上的两点，且F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l ，求四边形F 1MNF 2的面积；
（3）过椭圆C 内一点T （t ，0）作两条直线分别交椭圆C 于点A ，C ，和B ，D ，设直线AC 与BD
的斜率分别是k 1，k 2，若|AT |·|TC |=|BT |·|TD |，试问k 1+k 2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由． 22．（12分）
已知函数()()e 1ln x
f x a ax a =--+，其中2e a >-，且0a ≠． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 只有一个零点，求a 的取值范围．

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