《高等数学二》复习教程第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限极限存在性与左右极限之间的关系
退保险夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有
界、介值）
二、题型与解法
A.极限的求法（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
qq被冻结（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.6
12arctan lim )
21ln(arctan lim 30
30-=-=+->->-x
x x x x x x x （等价小量与洛必达）
2.已知2
30)
(6lim 0)(6sin lim x
x f x
x xf x x x +=+>->-，求 解：2
0303'
)(6cos 6lim )(6sin lim
x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72
)0(''06)0(''32166
'
''''36cos 216lim
6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x
362
72
2''lim 2'lim )(6lim
0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1
21)1
2(lim
->-+x x
x x x （重要极限）
4.已知a 、b
为正常数，x x x x b a 3
0)2
(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3
ln ,)2(3
-+=+=x x x x x b a x
t b a t 2/300)()
ln(23)ln ln (3lim
ln lim ab t ab b b a a b a t x
x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)
1ln(1
2)(cos lim x x x +>-
解：令)ln(cos )
1ln(1
ln ,)(cos 2
)1ln(1
2
x x t x t x +=
=+ 2/100
2
1
2tan lim
ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim
2
02
=⎰
⎰
>-x
x x dt
t f x
dt
t f
（洛必达与微积分性质） ⎧≠=-0,)ln(cos )(2x x x x f
三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim 0
-=---->-x
x x e x x （洛必达）
2.)1
sin 1(lim 0x
x ctgx x ->- （洛必达或） 3.11lim 2
2
00=--->-⎰x x
t x e
dt
e
x （洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求
1.导数与微分
导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）
会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理 理解、、、定理 会用定理证明相关问题
3.应用
会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图
会计算曲率（半径）
二、题型与解法
A.导数微分的计算
基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
1.⎩
⎨⎧=+-==5
2arctan )(2t e ty y t
x x y y 由决定，求dx
dy 2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dx
dy
解：两边微分得0时y x y y ==cos '，将0代入等式得1
3.y x x y y xy
+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==
B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （）
，在（==处切线的直角坐标方程。
解：1|'),,0(|),(,sin cos 2/2
/2/-==⎪⎩⎪⎨⎧====πθππθθ
θ
θ
θy e y x e y e x x e y -=-2/π
5(x)为周期为5的连续函数，它在1可导，在0的某邻域内满足f(1)-3f(1)=8(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求)1('),1()6('),6(f f f f 或，等式取>0的极限有：f(1)=0
)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([lim sin )sin 1(3)sin 1(lim
0sin 0-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f t f t f t f t f x x f x f t t x x C.导数应用问题
6.已知x e x f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2满足对一切，
)0(0)('00≠=x x f 若，求),(00y x 点的性质。
解：令⎩⎨⎧<>>>===-0
,00
,0)(''00010000x x x e e x f x x x x 代入，，故为极小
值点。
7.2
小学三年级作文秋天3
)1(-=
x x y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、
方向盘渐进线。
解：定义域),1()1,(+∞-∞∈ x
：斜
：铅垂；；拐点及驻点2100''3
00'+===⇒===⇒=x y x x y x x y
8.求函数x e x y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。 解
：
101'arctan 2/2
2-==⇒++=+x x e x
x x y x 与驻点π，
2)2(-=-=x y x e y 与渐：π
D.幂级数展开问题
9.⎰=-x
x dt t x dx
d 022sin )sin( ⎰⎰⎰=⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-=-⋅
⋅⋅++--+⋅⋅⋅+-=-+---+⋅⋅⋅+-+--=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+---=----+-x n n n n
x
n n n n x n x x x dt t x dx d n n x x x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 02
)
12(2622147302
141
732
)
再苦再累就当自己是二百五
12(262
2
sin )!
12()1(!31)sin()!12)(14()1(7!3131)sin()!
12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!
12()()1()(!31)()sin(
或：2
0202sin sin )(sin x du u dx
d du u dx d u t x x x ==-⇒
=-⎰⎰ 10.求)0(0)1ln()()(2n f n x x x x f 阶导数处的在=+=
解：)(2
)
1(32()1ln(22
1322
2
---+--+⋅⋅⋅-+-=+n n n x o n x x x x x x x =
)(2)1(321543
n n
n x o n x x x x +--+⋅⋅⋅-+-- 2
!
)1()0(1
)(--=∴-n n f n n E.不等式的11.设
)
电脑分辨率设置1,0(∈x ，
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