指数函数的性质
先来复习⼀下中学的课程：
指数函数的导数
对f(x) = ax求导：
ax右侧的那个极限似乎没有办法继续简化了，如果这个极限看作关于a的函数（之所以将极限看作关于a的函数，是因为在这个极限中，a是未知的，Δx是已知的）：
函数在某⼀点导数的⼏何意义是该点处切线的斜率，所以M(a)也就是ax在x=0处切线的斜率。
如果y=2x，则，我们仍不知道M(a)是什么，暂且作为悬念。
e
我们知道e表⽰⾃然对数的底数，暂且不管⾃然对数到底是什么，只知道它确实存在。e有两个性质：
1) (ex)’ = ex
2) ex在x=0的导数是1
网王之吾名龙葵 当我们想要继续对f(kx)=2kx，k∈R求导时，根据上节的公式（2），，这并没有解决问题，看起来更复杂了。如果已知函数某⼀点的导数，就能求得该函数压缩或伸展后在该点的导数，2kx仅仅是2x的压缩或伸展，在x=0处的斜率也不断向左或向右倾斜：
春穿绿衣秋黄袍 当k=1/M(2)时，(bx)在x=0处的导数是1，b = e，虽然暂时不知道它的值，但已经知道它确实存在。
对数的性质
⾃然对数的导数
⾃然对数是以e为底的对数，简写做ln
y=lne和y=ex互为反函数：
lnx求导
梦见鬼 周公解梦 对于函数y = lnx，其反函数是ey = x，根据反函数微分法：
虹猫蓝兔奇侠传M(a)的真相
已经做了⾜够多的准备⼯作，是时候揭开M(a)的真相了。
在对指数函数y=ax求导时，我们得出(ax)’=axM(a)。根据对数的性质，elna = a，原函数需要使⽤对数进⾏⼀次变换：
根据链式求导法则，
所以，M(a) = ln(a)
指数函数的求导公式
由于已经知道了M(a)，所以我们终于可以完成对指数函数的求导了。
对数函数求导公式：(ax)’ = axlna
⽰例：
(10x)’ = 10xln10， (2x)’ = 2x ln2
对数微分法
⾃然对数求导公式：(lnu)’ = u’/u，u是x的函数
根据该公式，(lnx)’ = x’/x = 1/x
⽰例1：(lnx)’ = x’/x = 1/x
⽰例2：(lnax)’ = (ax)’/ ax = (ax lna) / ax = lna
⽰例3：(xx)’
这个稍微复杂点，不能直接⽤指数函数求导法则，因为指数也是x，此时需要使⽤对数做⼀次转换。
⽰例4：(xn)’
根据幂函数求导公式，(xn)’ = nxn-1，现在使⽤对数转换对其求解：
也可以使⽤对数微分法求解：
⽰例5：(lnsecx)’
(lnsecx)’ = (secx)’/secx = secxtanx/secx = tanx
e的真相
先来看⼀个极限：
这下⿇烦了，似乎没有办法直接求解。然⽽数学的魅⼒就在于化繁为简，化不可能为可能。暂且抛开lim，并使⽤对数转换(1+1/x)x ：
由此得出结论：
总结
1. (ex)’ = e，ex在x=0处的导数是1
2. 指数函数的导数 (ax)’=axlna
拟人句大全 优美摘抄三年级3. (lnx)’ = 1/x
如何做水煮鱼4. 对数微分法，(lnu)’ = u’/u
5.
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。
发表评论