从零开始推导幂法则，为什么深刻理解数学定义如此重要？
从零开始推导幂法则，为什么深刻理解数学定义如此重要？
从导数和极限的定义出发，我将证明你们在本科微积分中会学到的一阶导数规则。
如果你想从头开始做一个苹果派，你必须先发明宇宙——卡尔-萨根
大多数学生看到的微积分中的幂函数求导公式（Power Rule，下称幂法则），通常没有证明或只有部分证明。事实情况是，学生从一个完整的证明中会学到更多的东西。即使你觉得这些教科书中给出的证明已经足够，再多一个证明也无妨。在这个证明中，我不仅将证明幂法则，还有：
∙文职工作证明积法则
∙介绍归纳法的证明
∙证明链式法则
∙介绍一点实分析
证明使用的要素‍
在这个证明中，我将只使用下面的“工具”：
∙极限的定义随迁子女异地高考
∙导数的定义
员工辞职申请
∙任何你在标准代数课程中学的东西
汽车故障指示灯∙计算机工作原理包括指数法则和各种代数结构（整数、有理数和实数）的属性
这些限制将使我无法使用
∙对数的导数
∙指数函数的导数
∙情人节 歌曲或二项式定理
我见过的大多数证明都至少使用了其中之一。
证明的结构‍
我的证明将有以下结构：
∙证明积规则
∙证明n是整数的情况下，使用积规则和一些归纳法
∙证明链式法则
∙用链式法则证明n是有理数的情况
∙证明n是一个无理数的情况，从而证明所有实数的幂法则
积法则（The Product Rule）‍
我们知道，x^4= x · x^3。如果我们知道如何求x和x^3的导数，以及两个函数的乘积的导数，我们就可以求x⁴的导数。出于这个原因，我们将证明积法则。我们要从导数的定义来证明积法则。首先，定义一个函数z(x)=f(x)g(x)。然后，z相对于x的导数。由于我们谈论的是任意函数，我们必须使用导数的定义。
可能没有什么能让你眼前一亮，在这种情况下，我们要寻一些方法，以不同的形式重写表达式。既然表达式中有一个f(x+h)和一个g(x+h)，我们就应该设法把f(x+h)-f(x)或g(x+h)-g(x)带入表达式中。这样我们就可以用导数来代替它们。在这种情况下，我们可以使用一个经典的技巧，即添加一个0。例如，我们可以把f(x+h)-f(x+h)加到分子中，这样就不会有任何变化。我们要把( f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x))加到分子上，这时我们可以做代数：

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