4个让人匪夷所思的数学真理——关于数学、真理和极限
4个让⼈匪夷所思的数学真理——关于数学、真理和极限苍井空推特
⼤多数在数学上正确的科学是反直觉的。
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事实上，在数学中，我们经常会遇到这样的情况，即我们会推导出我们不完全理解的东西。
欧拉恒等式这就是众所周知的欧拉恒等式。如果你问任何⼀个稍微熟悉数学研究的⼈，他们都
会认出它。对我来说，数学最有趣的地⽅在于发现我们并不完全理解的东西。
超越数就是其中之⼀。我们发现它经常出现在我们经常使⽤的地⽅。要么是半衰期，要么是计
算房屋利率，要么是计算圆周长与直径之⽐。
有了0和1，以及- 1的平⽅根的定义，加上唯⼀性的⼀般公理，我们就可以构建整个数字系统。
我们所有的知识都在这个等式中。但我们不知道为什么。这有点像万有引⼒，因为⽜顿知道有
⼀个⼒作⽤在从树上掉下来的苹果上。但是，直到今天，我们仍然对它到底是什么有争议。
斯坦福⼤学教授基思·德夫林谈到欧拉恒等式：
就像莎⼠⽐亚的⼗四⾏诗抓住了爱的本质，或者⼀幅画展现了⼈类形态的美，⽽不仅仅是肤浅
的，欧拉⽅程深⼊到存在的最深处。
哲学家、数学家、哈佛⼤学教授本杰明·⽪尔斯也说过：
这“绝对是⾃相⽭盾的，我们不能理解它，我们不知道它意味着什么，但我们已经证明了它，
因此我们知道它⼀定是真理。
这就是欧拉恒等式的核⼼。事实上，它是很多数学的核⼼。但是即使抛弃了整个逻辑思维和精
确性，它也没有达到真正的真实含义。
我们知道，他们以我们所知的⾼度精确的程度来解释现实。他们模拟了我们遇到的⼏乎所有东
西。它们改善了社会绝⼤多数⼈的⽣活，⽽社会却不承认它。
它们是世界上看不见的真理。你不需要了解他们就能从他们给我们的东西中受益。银行账号是什么
但是，如果有⼈问我，“为什么？”是欧拉恒等式，我不能告诉你。
这就是有趣的地⽅。你有⼀个如此强⼤的⽅程，将数学中如此多的元素联系在⼀起——⽽且如
此优雅——但我们并没有真正理解它。
还记得我们在欧拉恒等式中看到的e吗？它与很多事物都有联系，但让我们先从它的发现开始，
然后再进⼊它的奇怪之处。
1683年，Jacob Bernoulli问了⼀个关于复利的问题：
⼀个账户从1美元开始，每年⽀付100%的利息。如果利息在年底贷记⼀次，那么年底时账户的
价值为2美元。如果利息在⼀年内多次贷记会发⽣什么？
也就是说，如果你⽤最初的1美元，将利息(100%)分成你想要它⽀付的次数，会发⽣什么？
如果你想做两次，那么每6个⽉会产⽣50%的利息。也就是说，你将得到：
按100%利率计算⼀美元本⾦的复利公式。n是初始1元复利的次数。换句话说，你将把100%的利息分成你想要的次数。
例如，在我们最初的情况下，每6个⽉，你会有：
对于伯努利来说，有趣的事情很快就变成了如何对较⼤的n值进⾏求解：
对于n = 12，得到2.613035美元。对于n = 52，得到2.692597美元。对于n = 365，得到2.714567美元。然后，对于n⽆穷⼤，将得到：
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995……
⽆穷⼤与数学之间有⼀种奇怪的关系。⼀⽅⾯，它使⼈类有能⼒更深⼊地观察世界的内部运作。另⼀⽅⾯，它回避了⼀个问题:“为什么?”。
另⼀个超越数同样通过⽆限的使⽤⽽出现：
其中C是周长，d是直径。
但是我们是怎么想到这个的呢？为什么形状是圆？圆到底是什么？
长字开头的成语从⼀个正⽅形开始，不断地增加边数。直到⽆穷多，当边数为⽆穷⼤时，π的值为：
3.14159……
所以，当你看⼀个圆的时候，你实际上是在看⼀个有⽆数条边的多边形。
如果我们对欧拉数好奇，我们会看到更多令⼈挠头的东西。
也就是说,
e^x的导数和积分我们以伯努利的复合例⼦为例，把它推⼴到求幂。也就是说，我们把e看作是⼀个超越常数，它是指数函数的基础。即使作为⼀个函数，它在神秘的存在中也有⼀种奇妙的⼒量。指数函数的定义⼏乎是每个⼈都遇到过的。
我们后⾯会学到，如果对它求导，会得到：
更重要的是，指数函数的加速能⼒。从指数函数中可以看出它们增长的有多快。速度和加速度是指数运算的核⼼。
当我们求下⾯的导数：
我们要求出常数b使得ln(b) = 1。我们的动机是出常数，使增长率是原来的函数。这意味着，通过可验证的递归，增长率的速率也将是原来的函数。
这意味着原函数的导数的任何n次迭代或n次导数的n次迭代也将是原函数。再⼀次，我们回顾了⽆限的概念。
常数e，是唯⼀的⽐例常数为1的基，使得指数函数的导数以e为底等于它本⾝。
与其他指数函数不同的是，它在各个领域都有许多派⽣，有着同样令⼈困惑的解释和含义。
为了看得更清楚：
不知道干什么e^x：相同的结果，不同的⽅法
这⾥
我们的极限包含了伯努利⽅程和复利⽅程的初始问题(对于特殊情况，x = 1，结果是e)
毫⽆疑问，这些特殊的⽆理数e和π深刻理解了世界的本质以及其中的物质和物体的⾏为。⽆论是在分布，声波，原⼦和亚原⼦⾏为，赌博，⽣物，化学，物理。这⼀切都来⾃⼀个最初想要回答⼀个简单的复合问题的⼈:
关于复利的简单图表，1000美元本⾦开始。
但在寻求某种封闭和某种趋同的过程中，我们似乎仍存在分歧。每解决⼀个问题，就会出现更多的问题。超验论也是这样产⽣的。
出现，但不⼀定能解释“为什么”。这些数字e和π是通过好奇⼼和⼈类意志⼒发现的。我要说的是，今天我们对这些数字的了解与以往⼀样多。
事实上，我们把这些都计算到⼗⼏万亿位。
e的近似值，
发现的历史和试图理解它的存在⼀样令⼈困惑。
对于上⾯的e，泰勒级数是：
e^x的泰勒级数对于⼀般情况，e的1次⽅：
我们知道这个级数是收敛的，我们知道这个级数收敛于我们的超越常数e。
我们知道的另⼀个类似的级数是调和级数：
担心的句子调和级数
有趣的是，你会说这个东西会收敛。
前⼀百万项的和⼤约是14.8。
但是如果我们假设调和级数收敛，那么我们可以这样假设
但是
因此
这是不可能的。因此，我们知道级数是发散的。
然⽽在1914年，A.J.肯普纳发表了⼀篇名为《⼀个奇怪的收敛级数》的论⽂，证明了调和级数
稍微修改⼀下，实际上是收敛的。也就是去掉分母中含有“9”的值的调和级数。
起初，肯普纳认为这个级数的上限应该在80以下。从那时起，进⼀步的细化显⽰这个级数收敛到略低于23的值，⼤约是22.92067。这是⾮常奇怪的，从发散的级数中删除⼀些元素，最终将使级数收敛。
但是，⼤多数三位数的分母值都包含“9”，这使得级数收敛的速度⼏乎不够快。
但这显然回避了⼀个问题：你能从调和级数中删除的最⼩元素数量是多少才能使它收敛？
如果你⽤计算器，开始加1 + 2 + 3 + 4 + 5，⼀直加下去，不停⽌，你会认为你会得到⼀个⾮常⼤的正数。
让我告诉你⼀些完全违背直觉的事情：
也就是说，如果你把⾃然数相加，1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…你会得到：
⾸先，我们需要⼀些⼯具
我们从第三个和开始，N_2。如果我们将此和停⽌在偶数点，则从对称性上我们知道该和为0。如果在奇数点停⽌计算，结果是1。我们先取平均值，⽽不考虑它的数学原理。总和是1/2！
现在我们看⼀下N_1。具体来说，我们把总和乘以2。
如你所见，我们得到：
你知道吗，原来的和，N，在括号⾥！
N - N_1 = 4(N)。
所以N_1 = 1/4。
所以我们要做的就是从⼀边减去N，现在我们有：
-1/4 = 3N。N=-1/12
这个结果的唯⼀补充就是⽆穷级数实际上是发散的。同时，我的最终结果依赖于其他级数的部分和。
如果你想知道结果的实⽤性，你可以阅读我以前的⽂章：《太神奇了！所有⾃然数之和等于-
1/12！我证明给你看！》、《理解最伟⼤的数学猜想——黎曼猜想》。
但是，如果你问我“为什么?”，我还是不能告诉你。

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