南京景点大全不同底数的指数函数增长快慢的再探讨
1问题提出
北师版普通高中课程标准教科书数学必修1—§3.3指数函数的图像与性质中借助了
x y 2=和x y 3=的图像探讨了底数a 对函数图像的影响. 得出结论：
一般地，底数大于1的指数函数，底数越大，当x>0时，x 逐渐增大，其函数值增加越快.
为什么要限制“当x>0时”？ 当x<0时情况又是怎样的呢？ 2两种假象
假象1 当x<0时，结论不变.
假象2 当x<0时，结论改变.由于当x<0时，x y 2=的图像在x y 3=的图像的上方，容易误认为当x 逐渐增大，x y 2=的函数值增加更快.
3剖析假象
教材中通过列表（如下），分析了当x>0时函数增长快慢的差异. 我们不妨借助该表格中的数据来分析x <0时的情形.
当x 从－2增加到－1时，x y 2=的函数值增加了0.25，而x y 3=的函数值增加了0.22.此时，x y 2=的函数值增加更快.
当x 从－1增加到0时，x y 2=的函数值增加了0.5，而x y 3=的函数值增加了0.67.此时，x y 3=的函数值增加得更快.
由此可见，当x<0时，x y 2=与x y 3=的函数值增长快慢较复杂.不能像假象1和假象2那样笼统定论.但是以上两种假象在师生之间很常见，并且教材及教辅中也多有出现.
北师版普通高中课程标准教科书数学必修1—§6 P98 在问题提出中写到： 当a>1时，指数函数y=a x 是增函数，并且当a 越大时，其函数值增长就越快。 再如北师版普通高中课程标准教科书数学必修1中有习题： 比较下列各题中，两个函数增长的快慢.
（1）x
y )23
(= 和xac米兰主力阵容
y )4
5(=（2）x y )31(= 和x y )32(=
教材配套教师用书参考答案：（1）x y )23(=增长得快；（2）x
y )3
2(=减少得快.
教材配套教材全解参考答案：
（1）∵
4523>，∴x y )23
(=的函数值增长得快. （2）∵ 3231<，∴x y )3
1
(=的函数值减少得快.
以上说法很不严密，需对不同底数的指数函数增长快慢再作深入探讨. 4问题分析
“当x 从0增加到10，函数x y 2=的函数值从1增加到1024，函数x y 3=的函数值从1增加到59049.这说明，当x>0时，函数x y 3=的函数值比函数x y 2=的函数值增长得快.”对于以上的描述，作为教材来说应当是比较粗糙的，x 从0增加到10，让△x=10，自变量的增量太大，这不是刻画函数增加快慢好的表达方法.从自变量增加相同的△x ，看各函数函数值的变化情情况，若只从图上看，会认为在R 上，底数大于1的指数函数，底数越
大，x 逐渐增大时，其函数值增加更快.但是实际上并非如此.
首先要给出下图1：
图1
从图形容易看出：当5-<x 时，x y 3=始终在x y 2=之上.更细致地看，
当5-<x 时，x y 2=和x y 3=是紧挨着的.
当05<<-x 这一阶段，x y 2=先是“快跑了”一阵，把x y 3=“拉开了”距离.但随后，x y 3=奋起直追，以更快的速度前进，终于在0x =时，赶上了x y 2=.
也就是说，当05<<-x 这一阶段，x y 2=和x y 3=还需分区间讨论.下面我们通过对函数求导，来定量分析.
x y 2=的导数为2ln 2x y =，x y 3=的导数为3ln 3x y =，而2ln 2x y =图像与3ln 3x y =的图像有唯一的公共点.如下图2.
图2 图3
易求得这个公共点的横坐标为)3(log log 23
2=x ，于是有，当)3(log log 23
2<x 时，x
逐渐增大时，函数x y 2=函数值增长得快；)3(log log 23
2>x 时，x 逐渐增大时，函数x
y 3=的函数值增长得快；
对于底数大于0且小于1的情况同样可以讨论.以x y 3.0=x y 2.0=为例，其导数图像如图3，则，
当)3.0(log log 2.03
火炬之光2互联网如何成为淘宝供货商.02.0<x ，x 逐渐增大时，x y 2.0=的函数数值减少得快，当
)3.0(log log 2.03
欢的拼音.02.0>x ，x 逐渐增大时，x y 3.0=的函数数值减少得快.
同时可以看出，两个函数图像上下方的分界点与函数值增长快慢的分界点可以不是同一个点。 5结论概括
一般地
（1）x a y =和x b y =（1>>b a ）
当)(log log a x b a时尚童装品牌
b <，x 逐渐增大时，函数x b y =函数值增长得更快；
)(log log a x b a
b >，x 逐渐增大时，函数x a y =的函数值增长和更快；
（2）x a y =和x b y =，（10<<<b a ）
当)(log log a x b a
b <，x 逐渐增大时，x a y =的函数数值减少得更快，当
)(log log a x b a
b >，x 逐渐增大时，x b y =的函数数值减少得更快.
6 两个纠正
必修1—§6 P98 在问题提出中应改为：
当a>1时，指数函数y=a x
是增函数，并且当x>0时，a 越大，x 逐渐增大时，其函数值增长就越快。
最后回答教材中的练习，两小题答案应改为：
（1）当x>0，x 逐渐增大时，函数x
y )2
3(=的函数值增长得更快.
（2）当0<x ，x 逐渐增大时，函数x y )3
1(=的函数值减少得更快.
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